Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2021 session normale — Problème · partie 2 : variations et tracé

3.a) Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{x}$ et interpréter.

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(2\ln x-2)=-\infty .$$

3.b) Montrer que $f^{\prime }(x)=2\ln x$ pour $x>0$.

$$f^{\prime }(x)=(2x{)}^{\prime }\ln x+2x(\ln x{)}^{\prime }-2=2\ln x+2x\cdot \frac{1}{x}-2=2\ln x+2-2=\boxed{2\ln x}.$$

3.c) Tableau de variations de $f$ sur $[0,+\infty [$.

Le signe de $f^{\prime }(x)=2\ln x$ est celui de $\ln x$ : négatif sur $]0,1[$, nul en $1$, positif sur $]1,+\infty [$. Minimum $f(1)=2\ln 1-2=-2$, et $f(0)=0$, $\underset{+\infty }{\lim }f=+\infty$.

4.a) Résoudre $f(x)=0$ et $f(x)=x$ sur $]0,+\infty [$.

$\bullet$ $f(x)=0⟺2x(\ln x-1)=0⟺\ln x=1⟺\boxed{x=e}$ (car $x>0$). $\bullet$ $f(x)=x⟺2x\ln x-2x=x⟺x(2\ln x-3)=0⟺\ln x=\frac{3}{2}⟺\boxed{x=e^{3/2}}$.

4.b) Construire $(C_f)$ (on prend $e\approx 2,7$, $e^{3/2}\approx 4,5$).

Points clés : $(1;-2)$ (minimum, tangente horizontale), $(e;0)$, $(e^{3/2};e^{3/2})$ ; demi-tangente verticale descendante en $O$. (La courbe verte $(C_{g^{-1}})$ ci-dessous est tracée à la question 7.)