Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2021 session normale — Problème · partie 4 : minimum, réciproque et dérivabilité

Soit la fonction $f$ définie sur $[0,+\infty [$ par $f(0)=0$ et $f(x)=2x\ln x-2x$ si $x>0$. Soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 1cm).

6.a) Déterminer le minimum de $f$ sur $]0,+\infty [$.

6.b) En déduire que pour tout $x\in ]0,+\infty [$, $x\ln x\ge x-1$.

7) Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ à l'intervalle $[1,+\infty [$.

7.a) Montrer que la fonction $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.

7.b) Construire dans le même repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ la courbe représentative de la fonction $g^{-1}$.

8) On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$h(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3+3x& \text{si }x\le 0\\ 2x\ln x-2x& \text{si }x>0\end{array}$$

8.a) Étudier la continuité de $h$ au point 0.

8.b) Étudier la dérivabilité de la fonction $h$ à gauche au point 0, puis interpréter géométriquement le résultat.

8.c) La fonction $h$ est-elle dérivable au point 0 ? Justifier.