Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2021 session de rattrapage — Exercice 1 : Suites numériques

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session de rattrapage 2021. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par $u_{0} = \frac{1}{3}$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 1}{3 - u _{n}}$ pour tout $n \in N$ .

1) Montrer par récurrence que pour tout $n \in N$ , $0 < u_{n} < 1$ .

2.a) Montrer que pour tout $n \in N$ , $1 - u_{n + 1} = \frac{2 ( 1 - u _{n} )}{3 - u _{n}}$ .

2.b) Montrer que la suite $(u_{n})$ est convergente.

3) On pose $v_{n} = \frac{u _{n}}{1 - u _{n}}$ pour tout $n \in N$ .

3.a) Montrer que $(v_{n})$ est une suite arithmétique et déterminer sa raison et son premier terme.

3.b) Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ , puis en déduire que $u_{n} = \frac{n + 1}{n + 3}$ pour tout $n \in N$ .

3.c) Calculer la limite de la suite $(u_{n})$ .

4) À partir de quelle valeur de $n$ a-t-on $u_{n} \geq \frac{1011}{1012}$ ?

Corrigé

$(u_{n})$ : $u_{0} = \frac{1}{3}$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 1}{3 - u _{n}}$ .

1) Montrer par récurrence que $0 < u_{n} < 1$ .

Initialisation. $u_{0} = \frac{1}{3} \in] 0, 1 [$ : vrai au rang $0$ . Hérédité. Supposons $0 < u_{n} < 1$ . $∙$ $u_{n} > 0$ donne $u_{n} + 1 > 0$ , et $u_{n} < 1$ donne $3 - u_{n} > 2 > 0$ , donc $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 1}{3 - u _{n}} > 0$ . $∙$ Pour la majoration : $1 - u_{n + 1} = 1 - \frac{u _{n} + 1}{3 - u _{n}} = \frac{3 - u _{n} - ( u _{n} + 1 )}{3 - u _{n}} = \frac{2 ( 1 - u _{n} )}{3 - u _{n}} .$ Comme $u_{n} < 1$ , $1 - u_{n} > 0$ ; et $3 - u_{n} > 0$ . Donc $1 - u_{n + 1} > 0$ , soit $u_{n + 1} < 1$ .

⇒ Par récurrence,

0 < u_{n} < 1

pour tout

n \in N

2.a) Montrer $1 - u_{n + 1} = \frac{2 ( 1 - u _{n} )}{3 - u _{n}}$ .

Déjà établi à la question 1 :

⇒

1 - u_{n + 1} = \frac{2 ( 1 - u _{n} )}{3 - u _{n}}

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