Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2021 session de rattrapage — Exercice 2 : Nombres complexes

1) Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation : $z^2-6z+13=0$.

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$ telles que : $$a=3+2i,b=3-2i\text{et}c=-1-2i$$

2.a) Écrire le nombre complexe $\frac{c-b}{a-b}$ sous forme trigonométrique.

2.b) En déduire la nature du triangle $ABC$.

3) Soit $R$ la rotation de centre $B$ et d'angle $\frac{\pi }{2}$. Soit $M$ un point du plan d'affixe $z$ et $M^{\prime }$ le point d'affixe $z^{\prime }$ l'image de $M$ par $R$. On considère le point $D$ d'affixe $d=-3-4i$.

3.a) Écrire $z^{\prime }$ en fonction de $z$.

3.b) Vérifier que $C$ est l'image de $A$ par $R$.

4.a) Montrer que les points $A$, $C$ et $D$ sont alignés.

4.b) Déterminer le rapport de l'homothétie $h$ de centre $C$ qui transforme $A$ en $D$.

4.c) Déterminer l'affixe $e$ du point $E$ pour que le quadrilatère $BCDE$ soit un parallélogramme.

5.a) Montrer que $\frac{d-a}{e-b}$ est un nombre réel.

5.b) En déduire que le quadrilatère $ABED$ est un trapèze isocèle.