Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2021 session de rattrapage — Exercice 3 : Étude d'une équation

On considère la fonction numérique $h$ définie sur $]0,+\infty [$ par : $h(x)=x+\ln x$.

1) Montrer que la fonction $h$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$.

2) Déterminer $h(]0,+\infty [)$.

3.a) En déduire que l'équation $h(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $]0,+\infty [$.

3.b) Montrer que $0<\alpha <1$.

4.a) Vérifier que $h\left(\frac{1}{e}\right)<0$.

4.b) En déduire que $\frac{1}{e}<\alpha <1$.