Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2021 session de rattrapage — Problème · partie 2 : variations, convexité et minimum

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session de rattrapage 2021. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $R$ par $f (x) = 2 - x e^{- x + 1}$ . Soit $(C_{f})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, i, j)$ (unité : 1cm).

3.a) Montrer que pour tout $x \in R$ , $f^{'} (x) = (x - 1) e^{- x + 1}$ .

3.b) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ .

4.a) Calculer $f^{''} (x)$ pour tout $x \in R$ .

4.b) Montrer que la courbe $(C_{f})$ admet un point d'inflexion d'abscisse 2.

5) Construire la courbe $(C_{f})$ dans le repère $(O, i, j)$ (on prendra $f (2) \approx 1, 25$ ).

6) Déterminer la valeur minimale de la fonction $f$ et en déduire que pour tout $x \in R$ , $e^{x - 1} \geq x$ .

Corrigé

3.a) Montrer $f^{'} (x) = (x - 1) e^{- x + 1}$ .

Rappel. $(e^{- x + 1})^{'} = - e^{- x + 1}$ .

$f^{'} (x) = - [(x)^{'} e^{- x + 1} + x (e^{- x + 1})^{'}] = - [e^{- x + 1} - x e^{- x + 1}] = (x - 1) e^{- x + 1} .$

⇒

f^{'} (x) = (x - 1) e^{- x + 1}

3.b) Tableau de variations de $f$ .

Le signe de $f^{'} (x)$ est celui de $x - 1$ (car $e^{- x + 1} > 0$ ). Minimum $f (1) = 2 - 1 \cdot e^{0} = 1$ ; et $- \infty lim f = + \infty$ , $+ \infty lim f = 2$ .

4.a) Calculer $f^{''} (x)$ . $f^{''} (x) = (x - 1)^{'} e^{- x + 1} + (x - 1) (e^{- x + 1})^{'} = e^{- x + 1} - (x - 1) e^{- x + 1} = (2 - x) e^{- x + 1} .$

4.b) Montrer que $(C_{f})$ a un point d'inflexion d'abscisse $2$ .

Le signe de $f^{''} (x)$ est celui de $2 - x$ : positif pour $x < 2$ , négatif pour $x > 2$ . $f^{''}$ s'annule en changeant de signe en $x = 2$ .

⇒

(C_{f})

admet un point d'inflexion d'abscisse

2

f (2) = 2 - 2 e^{- 1} \approx 1, 25

5) Construire $(C_{f})$ (on prend $f (2) \approx 1, 25$ ).

Repères : minimum $(1; 1)$ (tangente horizontale), inflexion $(2; \approx 1, 25)$ , asymptote $y = 2$ en $+ \infty$ . (La courbe verte $(C_{g^{- 1}})$ est tracée à la question 8.)

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