Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2022 session normale — Exercice 2 : Nombres complexes

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère le point $A$ d'affixe $a=-1-i\sqrt{3}$, le point $B$ d'affixe $b=-1+i\sqrt{3}$ et la translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{OA}$.

1) Prouver que l'affixe du point $D$, image du point $B$ par la translation $t$, est $d=-2$.

2) On considère la rotation $R$ de centre $D$ et d'angle $\frac{2\pi }{3}$. Montrer que l'affixe du point $C$, image du point $B$ par la rotation $R$, est $c=-4$.

3.a) Écrire le nombre $\frac{b-c}{a-c}$ sous forme trigonométrique.

3.b) En déduire que ${\left(\frac{b-c}{a-c}\right)}^2=\frac{c-d}{b-d}$.

4) Soient $(\Gamma )$ le cercle de centre $D$ et de rayon $2$, $({\Gamma }^{\prime })$ le cercle de centre $O$ et de rayon $4$, et $M$ un point d'affixe $z$ appartenant aux deux cercles $(\Gamma )$ et $({\Gamma }^{\prime })$.

4.a) Vérifier que $|z+2|=2$.

4.b) Prouver que $z+\bar{z}=-8$ (remarquer que $z\bar{z}=16$).

4.c) En déduire que les cercles $(\Gamma )$ et $({\Gamma }^{\prime })$ se coupent en un unique point qu'on déterminera.