Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2022 session normale — Exercice 4 : Intégrales et équation différentielle

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session normale 2022. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On considère la fonction $h$ définie sur $R$ par $h (x) = (x + 1) e^{x}$ .

1.a) Vérifier que $x \mapsto x e^{x}$ est une primitive de la fonction $h$ sur $R$ , puis calculer $I = \int_{- 1}^{0} h (x) d x$ .

1.b) À l'aide d'une intégration par parties, calculer $J = \int_{- 1}^{0} (x + 1)^{2} e^{x} d x$ .

2.a) Résoudre l'équation différentielle $(E) : y^{''} - 2 y^{'} + y = 0$ .

2.b) Montrer que la fonction $h$ est la solution de $(E)$ qui vérifie les conditions $h (0) = 1$ et $h^{'} (0) = 2$ .

Corrigé

$h (x) = (x + 1) e^{x}$ sur $R$ .

1.a) Vérifier que $x \mapsto x e^{x}$ est une primitive de $h$ , puis calculer $I = \int_{- 1}^{0} h$ .

$(x e^{x})^{'} = e^{x} + x e^{x} = (x + 1) e^{x} = h (x)$ , donc $x \mapsto x e^{x}$ est une primitive de $h$ . Alors $I = \int_{- 1}^{0} (x + 1) e^{x} d x = [x e^{x}]_{- 1}^{0} = 0 - (- 1) e^{- 1} = \frac{1}{e} .$

1.b) Calculer $J = \int_{- 1}^{0} (x + 1)^{2} e^{x} d x$ par parties.

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