Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2022 session normale — Problème · partie 1 : limites et asymptote $y=x$

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=x(e^{x/2}-1{)}^2$$ Soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 1cm).

1) Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ and $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.

2) Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ et interpréter géométriquement.

3.a) Montrer que la droite $(\Delta )$ d'équation $y=x$ est asymptote à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$.

3.b) Étudier le signe de $f(x)-x$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, et en déduire la position relative de $(C_f)$ et $(\Delta )$.