Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2022 session normale — Problème · partie 2 : variations, convexité et tracé de $f$

4.a) Montrer $f^{\prime }(x)=(e^{x/2}-1)(e^{x/2}-1+x{e}^{x/2})$.

$$f^{\prime }(x)=(e^{x/2}-1{)}^2+x\cdot 2(e^{x/2}-1)\cdot \frac{1}{2}{e}^{x/2}=(e^{x/2}-1)[(e^{x/2}-1)+x{e}^{x/2}].$$

4.b) Vérifier $x(e^{x/2}-1)\ge 0$, en déduire le signe de $f^{\prime }$.

Si $x>0$ : $e^{x/2}>1$ donc $e^{x/2}-1>0$ et $x(e^{x/2}-1)>0$. Si $x<0$ : $e^{x/2}<1$ donc $e^{x/2}-1<0$ et $x(e^{x/2}-1)>0$. Donc $x(e^{x/2}-1)\ge 0$ pour tout $x$. Or $$f^{\prime }(x)=(e^{x/2}-1{)}^2+e^{x/2}\cdot \underset{\ge 0}{\underbrace{x(e^{x/2}-1)}}\ge 0,$$ nul uniquement en $x=0$.

4.c) Tableau de variations de $f$.

$\underset{-\infty }{\lim }f=-\infty$, $\underset{+\infty }{\lim }f=+\infty$, $f(0)=0$ (tangente horizontale car $f^{\prime }(0)=0$).

5.a) Montrer $f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{2}{e}^{x/2}g(x)$, où $g(x)=(2x+4)e^{x/2}-x-4$.

En développant, $f^{\prime }(x)=(1+x)e^x-(2+x)e^{x/2}+1$. Alors $$f^{\prime \prime }(x)=(2+x)e^x-\frac{4+x}{2}{e}^{x/2}=\frac{1}{2}{e}^{x/2}[2(2+x)e^{x/2}-(x+4)]=\frac{1}{2}{e}^{x/2}g(x).$$

5.b) Signe de $g$ (lecture de $(C_g)$, avec $g(\alpha )=0$).

On vérifie $g(0)=4\cdot 1-0-4=0$ : $0$ est racine de $g$. Avec la racine $\alpha \approx -4,5$ donnée, la courbe $(C_g)$ fournit :

5.c) Concavité de $(C_f)$ et abscisses des points d'inflexion.

Comme $\frac{1}{2}{e}^{x/2}>0$, $f^{\prime \prime }$ a le signe de $g$ :

$(C_f)$ est convexe sur $]-\infty ,\alpha [$ et $]0,+\infty [$, concave sur $]\alpha ,0[$. La concavité change en $\alpha$ et en $0$ :