Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2022 session normale — Problème · partie 4 : étude de la suite $(u_{n})$

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session normale 2022. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $R$ par : $f (x) = x (e^{x /2} - 1)^{2}$ Soit $(C_{f})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, i, j)$ (unité : 1cm).

8) Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ pour tout $n \in N$ .

8.a) Montrer par récurrence que $0 < u_{n} < ln 4$ pour tout $n \in N$ .

8.b) Montrer que la suite $(u_{n})$ est décroissante.

8.c) En déduire que $(u_{n})$ est convergente et calculer sa limite.

Corrigé

8) $(u_{n})$ : $u_{0} = 1$ , $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .

8.a) Montrer par récurrence que $0 < u_{n} < ln 4$ .

Initialisation. $u_{0} = 1$ et $0 < 1 < ln 4 (\approx 1, 39)$ : vrai. Hérédité. Si $0 < u_{n} < ln 4$ , alors par croissance de $f$ : $f (0) < f (u_{n}) < f (ln 4)$ , soit $0 < u_{n + 1} < ln 4$ (car $f (0) = 0$ et $f (ln 4) = ln 4$ ).

⇒ Pour tout

n \in N

0 < u_{n} < ln 4

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