Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2022 session de rattrapage — Exercice 1 : Suites numériques

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session de rattrapage 2022. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = \frac{2 - 2}{2} u_{n} + \frac{2}{2}$ pour tout $n \in N$ .

1.a) Montrer par récurrence que $u_{n} > 1$ pour tout $n \in N$ .

1.b) Montrer que $u_{n + 1} - u_{n} = - \frac{2}{2} (u_{n} - 1)$ pour tout $n \in N$ , puis en déduire que $(u_{n})$ est décroissante et convergente.

2) Soit $(v_{n})$ la suite définie par $v_{n} = u_{n} - 1$ pour tout $n \in N$ .

2.a) Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{2 - 2}{2}$ et de premier terme $v_{0} = 1$ .

2.b) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis en déduire la limite de $(u_{n})$ .

2.c) Calculer la somme $S = v_{0} + v_{1} + \dots + v_{2021}$ .

Corrigé

$(u_{n})$ : $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = \frac{2 - 2}{2} u_{n} + \frac{2}{2}$ . On pose $q = \frac{2 - 2}{2}$ (avec $0 < q < 1$ ).

1.a) Montrer par récurrence que $u_{n} > 1$ .

Initialisation. $u_{0} = 2 > 1$ : vrai. Hérédité. Supposons $u_{n} > 1$ . On calcule $u_{n + 1} - 1$ : $u_{n + 1} - 1 = \frac{2 - 2}{2} u_{n} + \frac{2}{2} - 1 = \frac{2 - 2}{2} u_{n} - \frac{2 - 2}{2} = \frac{2 - 2}{2} (u_{n} - 1) .$ Comme $\frac{2 - 2}{2} > 0$ et $u_{n} - 1 > 0$ , on a $u_{n + 1} - 1 > 0$ .

⇒ Pour tout

n \in N

u_{n} > 1

1.b) Calculer $u_{n + 1} - u_{n}$ ; en déduire la monotonie et la convergence.

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