Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2022 session de rattrapage — Exercice 3 : Nombres complexes

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session de rattrapage 2022. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, u, v)$ , on considère les points $A$ , $B$ et $C$ d'affixes respectives : $z_{A} = 1 + 5 i, z_{B} = 1 - 5 i et z_{C} = 5 - 3 i$

1) Déterminer l'affixe du point $D$ , milieu du segment $[A C]$ .

2) Soit $h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $k = \frac{1}{2}$ . Déterminer l'affixe $z_{E}$ du point $E$ , image de $B$ par $h$ .

3) On considère la rotation $R$ de centre $C$ et d'angle $- \frac{π}{2}$ . Déterminer l'image de $B$ par la rotation $R$ (on montrera que c'est $D$ ).

4) Soit $F$ le point d'affixe $z_{F} = - 1 + i$ .

4.a) Vérifier que $\frac{z _{D} - z _{E}}{z _{F} - z _{E}} \times \frac{z _{F} - z _{A}}{z _{D} - z _{A}} = - 1$ .

4.b) En déduire une mesure de l'angle $(E F, E D) + (A D, A F) \equiv π (mod 2 π)$ .

4.c) Déterminer la forme trigonométrique du nombre $\frac{z _{A} - z _{F}}{z _{E} - z _{F}}$ , et en déduire la nature du triangle $A E F$ .

4.d) En déduire que les points $A, D, E, F$ appartiennent à un même cercle dont on déterminera un diamètre.

Corrigé

$z_{A} = 1 + 5 i$ , $z_{B} = 1 - 5 i$ , $z_{C} = 5 - 3 i$ .

1) Affixe de $D$ , milieu de $[A C]$ . $z_{D} = \frac{z _{A} + z _{C}}{2} = \frac{( 1 + 5 i ) + ( 5 - 3 i )}{2} = \frac{6 + 2 i}{2} = 3 + i .$

2) $h$ homothétie de centre $A$ , rapport $\frac{1}{2}$ ; affixe de $E = h (B)$ . $z_{E} = z_{A} + \frac{1}{2} (z_{B} - z_{A}) = (1 + 5 i) + \frac{1}{2} (- 10 i) = 1 + 5 i - 5 i = 1 .$

3) $R$ rotation de centre $C$ , angle $- \frac{π}{2}$ ; montrer $R (B) = D$ .

Rappel. $z^{'} - z_{C} = e^{- iπ /2} (z_{B} - z_{C})$ , avec $e^{- iπ /2} = - i$ .

$z_{B} - z_{C} = (1 - 5 i) - (5 - 3 i) = - 4 - 2 i$ , donc $z^{'} = z_{C} - i (z_{B} - z_{C}) = (5 - 3 i) - i (- 4 - 2 i) = (5 - 3 i) + (4 i - 2) = 3 + i = z_{D} .$

⇒

R (B) = D

4) $z_{F} = - 1 + i$ .

4.a) Vérifier $\frac{z _{D} - z _{E}}{z _{F} - z _{E}} \times \frac{z _{F} - z _{A}}{z _{D} - z _{A}} = - 1$ .

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