Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2022 session de rattrapage — Problème · partie 1 : limite, continuité et dérivabilité en 0

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session de rattrapage 2022. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $] 0, + \infty [$ par : $f (x) = x^{2} (1 - ln x)$ Soit $(C_{f})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, i, j)$ (unité : 1cm).

1) Calculer $x \to + \infty lim f (x)$ et déterminer la branche infinie de $(C_{f})$ au voisinage de $+ \infty$ .

2.a) Montrer que $f$ est continue à droite en $0$ .

2.b) Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ puis interpréter le résultat géométriquement.

Corrigé

1) $x \to + \infty lim f (x)$ et branche infinie.

$1 - ln x \to - \infty$ et $x^{2} \to + \infty$ , donc $x \to + \infty lim f (x) = - \infty$ . De plus $\frac{f ( x )}{x} = x (1 - ln x) \to - \infty$ .

⇒

(C_{f})

admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées en

+ \infty

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