Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2022 session de rattrapage — Problème · partie 2 : variations, point d'inflexion et tracé

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0,+\infty [$ par : $$f(x)=x^2(1-\ln x)$$ Soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 1cm).

3.a) Montrer que pour tout $x\in ]0,+\infty [$ : $f^{\prime }(x)=x(1-2\ln x)$.

3.b) Dresser le tableau de variations de $f$.

4.a) Sachant que pour tout $x\in ]0,+\infty [$ : $f^{\prime \prime }(x)=-2\ln x-1$, étudier le signe de $f^{\prime \prime }(x)$.

4.b) En déduire que la courbe $(C_f)$ admet un unique point d'inflexion dont on déterminera l'abscisse.

5.a) Construire la courbe $(C_f)$ (on prendra $\sqrt{e}\approx 1,6$).

5.b) En utilisant la courbe $(C_f)$, déterminer selon les valeurs du réel $k$ le nombre de solutions de l'équation $x^2(1-\ln x)=k$.

6) On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=f(|x|)$.

6.a) Montrer que la fonction $g$ est paire.

6.b) Construire $(C_g)$ la courbe représentative de $g$ dans le même repère.