Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2023 session normale — Exercice 2 : Nombres complexes

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session normale 2023. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, u, v)$ , on considère les points $A, B, C, D$ d'affixes respectives : $a = 2 + i 2, b = 1 + 2 + i, c = b ˉ et d = 2 i$

1) Écrire le nombre complexe $a$ sous forme trigonométrique.

2.a) Vérifier que $b - d = c$ .

2.b) Montrer que $(2 + 1) (b - a) = b - d$ et en déduire que les points $A$ , $B$ et $D$ sont alignés.

3.a) Vérifier que $a c = 2 b$ .

3.b) En déduire que $2 ar g (b) \equiv \frac{π}{4} (mod 2 π)$ .

4) Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{π}{4}$ qui transforme chaque point $M$ d'affixe $z$ en un point $M^{'}$ d'affixe $z^{'}$ .

4.a) Montrer que $z^{'} = \frac{1}{2} a z$ .

4.b) En déduire que $R (C) = B$ et que $R (A) = D$ .

4.c) Montrer que $\frac{b - a}{c - a} = (\frac{2 - 1}{2}) a$ , puis en déduire une mesure de l'angle $(A C, A B)$ .

Corrigé

$a = 2 + i 2$ , $b = 1 + 2 + i$ , $c = b ˉ = 1 + 2 - i$ , $d = 2 i$ .

Remarque. L'énoncé écrit $a = 2 + i 2$ , ce qui rend l'exercice incohérent (pas de forme trigonométrique simple, $a c \neq = 2 b$ , et $\frac{1}{2} a$ n'a pas pour module $1$ ). La valeur correcte est $a = 2 + i 2 = 2 e^{iπ /4}$ , avec laquelle tout l'exercice se résout. C'est elle qui est utilisée ici.

1) Forme trigonométrique de $a$ .

$∣ a ∣ = 2 + 2 = 2$ , et $a = 2 (\frac{2}{2} + i \frac{2}{2})$ .

⇒

a = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4}) = 2 e^{iπ /4}

2.a) Vérifier $b - d = c$ .

$b - d = (1 + 2 + i) - 2 i = 1 + 2 - i = b ˉ = c$ . $✓$

2.b) Montrer $(2 + 1) (b - a) = b - d$ ; en déduire l'alignement de $A, B, D$ .

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