Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2023 session normale — Problème · partie 1 : limites et asymptote

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session normale 2023. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $] 0, + \infty [$ par : $f (x) = 2 - \frac{2}{x} + (1 - ln x)^{2}$ Soit $(C_{f})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, i, j)$ (unité : 1cm).

1.a) Vérifier que pour tout $x \in] 0, + \infty [$ : $f (x) = \frac{3 x - 2 - 2 x l n x + x ( l n x ) ^{2}}{x}$ .

1.b) Montrer que $x \to 0^{+} lim x (ln x)^{2} = 0$ et que $x \to 0^{+} lim x ln x = 0$ (on pourra poser $t = x$ ).

1.c) En déduire que $x \to 0^{+} lim f (x) = - \infty$ , puis donner une interprétation géométrique.

1.d) Calculer $x \to + \infty lim f (x)$ , puis montrer que la courbe $(C_{f})$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de $+ \infty$ .

Corrigé

1.a) Vérifier $f (x) = \frac{3 x - 2 - 2 x ln x + x ( ln x ) ^{2}}{x}$ .

$(1 - ln x)^{2} = 1 - 2 ln x + (ln x)^{2}$ , donc $f (x) = 3 - \frac{2}{x} - 2 ln x + (ln x)^{2}$ . En réduisant au dénominateur $x$ : $f (x) = \frac{3 x - 2 - 2 x ln x + x ( ln x ) ^{2}}{x} .$

1.b) Montrer $x \to 0^{+} lim x (ln x)^{2} = 0$ et $x \to 0^{+} lim x ln x = 0$ .

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