Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2023 session normale — Problème · partie 2 : variations, concavité et tracé

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0,+\infty [$ par : $$f(x)=2-\frac{2}{x}+(1-\ln x{)}^2$$ Soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 1cm).

2) Montrer que pour tout $x\in ]0,+\infty [$ : $f^{\prime }(x)=\frac{2(1-x+x\ln x)}{x^2}$.

3) En exploitant le tableau de variations ci-dessous de la fonction dérivée $f^{\prime }$ de $f$ sur $]0,+\infty [$ (où $f^{\prime }(\beta )\approx 4,9$ et $\beta \approx 4,9$) : [Figure — voir le PDF]

3.a) Prouver que $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$, puis dresser le tableau de variations de $f$.

3.b) Donner le tableau de signes de la dérivée seconde $f^{\prime \prime }$ de la fonction $f$ sur $]0,+\infty [$.

3.c) En déduire la concavité de la courbe $(C_f)$ en précisant les abscisses de ses deux points d'inflexion.

4) La courbe $(C_g)$ ci-contre est la représentation graphique de la fonction $g(x)=f(x)-x$ qui s'annule en $\alpha \approx 0,3$ et $1$. Soit $(\Delta )$ la droite d'équation $y=x$.

4.a) À partir de la courbe $(C_g)$, déterminer le signe de la fonction $g$ sur $]0,+\infty [$.

4.b) En déduire que la droite $(\Delta )$ est en dessous de $(C_f)$ sur l'intervalle $[\alpha ,1]$ et au-dessus de $(C_f)$ sur $]0,\alpha ]$ et $[1,+\infty [$.

[Figure — voir le PDF]

5) Construire la courbe $(C_f)$ et la droite $(\Delta )$ dans le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (on prendra $\alpha \approx 0,3$, $\beta \approx 4,9$ et $f(\beta )\approx 1,9$).