Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2023 session normale — Problème · partie 3 : calcul d'aire

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session normale 2023. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $] 0, + \infty [$ par : $f (x) = 2 - \frac{2}{x} + (1 - ln x)^{2}$ Soit $(C_{f})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, i, j)$ (unité : 1cm).

6.a) Vérifier que la fonction $x \mapsto 2 x - x ln x$ est une primitive de la fonction $x \mapsto 1 - ln x$ sur $[α, 1]$ .

6.b) En utilisant une intégration par parties, montrer que $\int_{α}^{1} (1 - ln x)^{2} d x = 5 (1 - α) + α (4 - ln α) ln α$ .

6.c) En déduire en fonction de $α$ l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $(C_{f})$ , l'axe des abscisses, et les droites $x = α$ et $x = 1$ .

Corrigé

6.a) Vérifier que $x \mapsto 2 x - x ln x$ est une primitive de $x \mapsto 1 - ln x$ . $(2 x - x ln x)^{'} = 2 - (ln x + 1) = 1 - ln x . ✓$

6.b) Montrer $\int_{α}^{1} (1 - ln x)^{2} d x = 5 (1 - α) + α (4 - ln α) ln α$ .

Méthode. IPP avec $u = (1 - ln x)^{2}$ , $v^{'} = 1$ : $u^{'} = - \frac{2 ( 1 - ln x )}{x}$ , $v = x$ . Apparaît alors $\int (1 - ln x) d x$ , dont une primitive est $2 x - x ln x$ (question a).

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