Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2023 session de rattrapage — Exercice 1 : Suites numériques

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session de rattrapage 2023. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On considère la suite numérique $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n} - 2}{2 u _{n} + 5}$ pour tout $n \in N$ .

1) Montrer que pour tout $n \in N$ : $u_{n} > - 1$ .

2) Montrer que la suite $(u_{n})$ est décroissante, puis en déduire qu'elle est convergente.

3) Soit $(v_{n})$ la suite numérique définie par $v_{n} = \frac{3}{1 + u _{n}}$ pour tout $n \in N$ .

3.a) Montrer que $(v_{n})$ est une suite arithmétique de raison $r = 2$ et déterminer son premier terme.

3.b) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ pour tout $n \in N$ , puis en déduire la limite de $(u_{n})$ .

4) On pose $w_{n} = e^{3 - v_{n}}$ et $S_{n} = w_{0} + w_{1} + \dots + w_{n}$ pour tout $n \in N$ .

4.a) Montrer que $(w_{n})$ est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme.

4.b) Calculer la limite de la somme $S_{n}$ .

Corrigé

$(u_{n})$ : $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n} - 2}{2 u _{n} + 5}$ .

1) Montrer que $u_{n} > - 1$ .

Initialisation. $u_{0} = 0 > - 1$ . Hérédité. Supposons $u_{n} > - 1$ . Alors $u_{n + 1} + 1 = \frac{u _{n} - 2}{2 u _{n} + 5} + 1 = \frac{3 u _{n} + 3}{2 u _{n} + 5} = \frac{3 ( u _{n} + 1 )}{2 u _{n} + 5} .$ Or $u_{n} > - 1$ donne $u_{n} + 1 > 0$ et $2 u_{n} + 5 > 3 > 0$ , donc $u_{n + 1} + 1 > 0$ .

⇒ Pour tout

n \in N

u_{n} > - 1

2) Montrer que $(u_{n})$ est décroissante, puis convergente. $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{u _{n} - 2}{2 u _{n} + 5} - u_{n} = \frac{u _{n} - 2 - u _{n} ( 2 u _{n} + 5 )}{2 u _{n} + 5} = \frac{- 2 u _{n}^{2} - 4 u _{n} - 2}{2 u _{n} + 5} = \frac{- 2 ( u _{n} + 1 ) ^{2}}{2 u _{n} + 5} < 0.$ $(u_{n})$ est décroissante et minorée par $- 1$ :

⇒

(u_{n})

est convergente.

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