Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2023 session de rattrapage — Exercice 3 : Nombres complexes

1) On considère le nombre complexe $a=\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i$.

1.a) Montrer que $a=3\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$.

1.b) En déduire que $a^{2022}$ est un nombre réel.

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a$ et $\bar{a}$. Déterminer une mesure de l'angle de la rotation $R$ de centre $O$ qui transforme $B$ en $A$.

3) On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E_{\alpha }):z^2-3z+\alpha =0$, où $\alpha$ est un nombre réel non nul. On suppose que l'équation $(E_{\alpha })$ admet deux racines complexes conjuguées non réelles $z$ et $\bar{z}$. Soient les points $M(z)$, $N(\bar{z})$ et $P(3)$ dans le plan complexe. Sans résoudre l'équation $(E_{\alpha })$ :

3.a) Justifier que $\alpha >\frac{9}{4}$ et que $\alpha =z\bar{z}$.

3.b) Montrer que $z+\bar{z}=3$.

3.c) En déduire que les points $M$ et $N$ appartiennent à la médiatrice $(\Delta )$ du segment $[OP]$.

3.d) Déterminer la valeur de $\alpha$ pour laquelle $|z-3|=3$.