Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2023 session de rattrapage — Problème · partie 2 : variations et tracé de $f$

2.a) Vérifier que pour $x<2$, $x\ne 0$ : $\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=x{e}^{x(2-x)}-\frac{e^{x(2-x)}-1}{x(2-x)}x$.

Posons $E=e^{x(2-x)}$. Le membre de droite vaut $xE-\frac{(E-1)x}{x(2-x)}=xE+\frac{E-1}{x-2}$, dont le produit par $(x-2)$ est $$x(x-2)E+(E-1)=(x^2-2x+1)E-1=(x-1{)}^{2}E-1=f(x)-f(2).$$

2.b) Montrer que $f$ est dérivable à gauche en $2$.

Rappel. $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{e^u-1}{u}=1$.

Quand $x\to 2^{-}$ : $xE\to 2$ (car $E\to 1$) et $\frac{E-1}{x(2-x)}\cdot x\to 1\cdot 2=2$ (avec $u=x(2-x)\to 0$). Donc le taux d'accroissement tend vers $2-2=0$.

2.c) Montrer que $f$ est dérivable en $2$, $f^{\prime }(2)=0$, et interpréter.

À droite : $\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=(x-2)\ln (x-2)\to 0$, donc $f_d^{\prime }(2)=0=f_g^{\prime }(2)$.

3.a) Vérifier que pour $x\le 2$ : $f(x)=x(x-2)e^{x(2-x)}+e^{x(2-x)}$.

$x(x-2)e^{x(2-x)}+e^{x(2-x)}=e^{x(2-x)}[x(x-2)+1]=e^{x(2-x)}(x-1{)}^2=f(x).$ $✓$

3.b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ et interprétation.

$f(x)=(x^2-2x+1)e^{x(2-x)}$ ; en $-\infty$, $x(2-x)=2x-x^2\to -\infty$, et l'exponentielle l'emporte sur le polynôme, donc $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0$.

3.c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ ; interprétation.

Pour $x>2$ : $(x-2{)}^2\ln (x-2)\to +\infty$, donc ${\lim }_{+\infty }f=+\infty$ ; et $$\frac{f(x)}{x}=\frac{1+(x-2{)}^2\ln (x-2)}{x}\underset{x\to +\infty }{\to }+\infty .$$

4.a) Montrer que pour $x<2$ : $f^{\prime }(x)=2x(x-1)(2-x)e^{x(2-x)}$.

Avec $f=(x-1{)}^2{e}^{x(2-x)}$ et $(e^{x(2-x)}{)}^{\prime }=(2-2x)e^{x(2-x)}$ : $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =e^{x(2-x)}[2(x-1)+(x-1{)}^2(2-2x)]=e^{x(2-x)}\cdot 2(x-1)[1-(x-1{)}^2]\\ & =2x(x-1)(2-x)e^{x(2-x)}.\end{array}$$

4.b) Montrer que pour $x>2$ : $f^{\prime }(x)=(x-2)(1+2\ln (x-2))$. $$f^{\prime }(x)=2(x-2)\ln (x-2)+(x-2{)}^2\cdot \frac{1}{x-2}=(x-2)(2\ln (x-2)+1).$$

4.c) Résoudre $1+2\ln (x-2)\le 0$ sur $]2,+\infty [$. $$1+2\ln (x-2)\le 0⟺\ln (x-2)\le -\frac{1}{2}⟺x-2\le e^{-1/2}⟺x\le 2+\frac{1}{\sqrt{e}}.$$

4.d) Signe de $f^{\prime }$ et tableau de variations de $f$.

Pour $x<2$ : $e^{x(2-x)}>0$ et $2-x>0$, donc $f^{\prime }$ a le signe de $x(x-1)$ : positif sur $]-\infty ,0[$, négatif sur $]0,1[$, positif sur $]1,2[$. Pour $x>2$ : $f^{\prime }$ a le signe de $1+2\ln (x-2)$ : négatif sur $]2,2+\frac{1}{\sqrt{e}}[$, positif après. Valeurs : $f(0)=1$, $f(1)=0$, $f(2)=1$, $f(2+\frac{1}{\sqrt{e}})\approx 0,8$.

($f\ge 0$ sur $\mathbb{R}$, nulle seulement en $x=1$.)