Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2024 session normale — Exercice 1 : Suites numériques

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session normale 2024. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On considère la suite numérique $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 4$ et $u_{n + 1} = \frac{4 u _{n} - 2}{1 + u _{n}}$ pour tout $n \in N$ .

1.a) Vérifier que $u_{n + 1} = 4 - \frac{6}{1 + u _{n}}$ pour tout $n \in N$ .

1.b) Montrer par récurrence que $2 \leq u_{n} \leq 4$ pour tout $n \in N$ .

2.a) Montrer que $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{( u _{n} - 1 ) ( 2 - u _{n} )}{1 + u _{n}}$ pour tout $n \in N$ .

2.b) Montrer que la suite $(u_{n})$ est décroissante et en déduire qu'elle est convergente.

3) Soit $(v_{n})$ la suite numérique définie par $v_{n} = \frac{2 - u _{n}}{1 - u _{n}}$ pour tout $n \in N$ .

3.a) Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{2}{3}$ .

3.b) Montrer que $u_{n} = 1 + \frac{1}{1 - ( \frac{2}{3} ) ^{n + 1}}$ pour tout $n \in N$ .

3.c) Calculer la limite de la suite $(u_{n})$ .

Corrigé

$(u_{n})$ : $u_{0} = 4$ et $u_{n + 1} = \frac{4 u _{n} - 2}{1 + u _{n}}$ pour tout $n \in N$ .

1.a) Vérifier que $u_{n + 1} = 4 - \frac{6}{1 + u _{n}}$ .

On part du membre de droite et on réduit au même dénominateur : $4 - \frac{6}{1 + u _{n}} = \frac{4 ( 1 + u _{n} ) - 6}{1 + u _{n}} = \frac{4 + 4 u _{n} - 6}{1 + u _{n}} = \frac{4 u _{n} - 2}{1 + u _{n}} = u_{n + 1} . ✓$

1.b) Montrer par récurrence que $2 \leq u_{n} \leq 4$ pour tout $n \in N$ .

Initialisation. $u_{0} = 4$ , donc $2 \leq u_{0} \leq 4$ . Vrai au rang $0$ . Hérédité. Supposons $2 \leq u_{n} \leq 4$ . Alors $3 \leq 1 + u_{n} \leq 5$ , donc en passant aux inverses (fonction décroissante) : $\frac{1}{5} \leq \frac{1}{1 + u _{n}} \leq \frac{1}{3} ⟹ - \frac{6}{3} \leq - \frac{6}{1 + u _{n}} \leq - \frac{6}{5} ⟹ 2 \leq 4 - \frac{6}{1 + u _{n}} \leq \frac{14}{5} .$ Comme $\frac{14}{5} = 2, 8 \leq 4$ , on a bien $2 \leq u_{n + 1} \leq 4$ .

⇒ Par récurrence,

2 \leq u_{n} \leq 4

pour tout

n \in N

2.a) Montrer que $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{( u _{n} - 1 ) ( 2 - u _{n} )}{1 + u _{n}}$ .

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