Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2024 session normale — Exercice 3 : Nombres complexes

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session normale 2024. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, u, v)$ , on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives : $a = 3 (1 - i) et b = 2 + 3 + i$

1) Vérifier que $∣ a ∣ = 6$ et que $ar g (a) \equiv - \frac{π}{4} (mod 2 π)$ .

2.a) Montrer que $\frac{b}{a} = \frac{3 + 1}{3} e^{iπ /3}$ .

2.b) En déduire une forme trigonométrique du nombre complexe $b$ , puis vérifier que $b^{24}$ est un nombre réel.

3) Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{π}{6}$ qui transforme chaque point $M$ d'affixe $z$ en un point $M^{'}$ d'affixe $z^{'}$ . On pose $R (B) = B^{'}$ , $R (A) = A^{'}$ et $R (A^{'}) = A^{''}$ .

3.a) Vérifier que $z^{'} = \frac{1}{2} (3 + i) z$ et que $ar g (a^{'}) \equiv - \frac{π}{12} (mod 2 π)$ , où $a^{'}$ est l'affixe du point $A^{'}$ .

3.b) Montrer que l'affixe du point $A^{''}$ est $a^{''} = 6 e^{iπ /12}$ et en déduire que les points $O$ , $A^{''}$ et $B$ sont alignés.

3.c) Montrer que $b^{'}$ , l'affixe du point $B^{'}$ , vérifie $b^{'} = \frac{3 + 3}{3} i a$ .

3.d) En déduire que le triangle $O A B^{'}$ est rectangle en $O$ .

Corrigé

$a = 3 (1 - i) = 3 - i 3$ et $b = 2 + 3 + i$ .

1) Vérifier que $∣ a ∣ = 6$ et $ar g (a) \equiv - \frac{π}{4} (mod 2 π)$ .

$∣ a ∣ = (3)^{2} + (3)^{2} = 6 .$ $a = 6 (\frac{3}{6} - i \frac{3}{6}) = 6 (\frac{1}{2} - i \frac{1}{2}) = 6 (cos (- \frac{π}{4}) + i sin (- \frac{π}{4})) .$

⇒

∣ a ∣ = 6

ar g (a) \equiv - \frac{π}{4} (mod 2 π)

2.a) Montrer que $\frac{b}{a} = \frac{3 + 1}{3} e^{iπ /3}$ .

Méthode. On multiplie haut et bas par le conjugué de $a$ (ou, plus simplement, on utilise $\frac{1}{a} = \frac{1 + i}{2 3}$ puisque $a = 3 (1 - i)$ ), puis on met le module en facteur.

Comme $a = 3 (1 - i)$ , on a $\frac{1}{a} = \frac{1 + i}{3 ( 1 - i ) ( 1 + i )} = \frac{1 + i}{2 3}$ . Donc $\frac{b}{a} = (2 + 3 + i) \cdot \frac{1 + i}{2 3} = \frac{( 2 + 3 ) ( 1 + i ) + i ( 1 + i )}{2 3} = \frac{( 1 + 3 ) + ( 3 + 3 ) i}{2 3} .$ On factorise par $(1 + 3)$ en remarquant $3 + 3 = 3 (3 + 1)$ : $\frac{b}{a} = (1 + 3) [\frac{1}{2 3} + \frac{i}{2}] = (1 + 3) \cdot \frac{1}{3} [\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i] = \frac{3 + 1}{3} (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}) .$

⇒

\frac{b}{a} = \frac{3 + 1}{3} e^{iπ /3} = \frac{3 + 3}{3} e^{iπ /3}

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