Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2024 session de rattrapage — Exercice 2 : Nombres complexes

Partie I On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation $(E):z^2-4z+9=0$.

1) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $\Delta =(2i\sqrt{5}{)}^2$.

2) Résoudre l'équation $(E)$.

Partie II Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère les points $A,B$ et $C$ d'affixes respectives : $$a=2+i\sqrt{5},b=2-i\sqrt{5}\text{et}c=2-\sqrt{5}$$

1.a) Vérifier que $|a|=3$.

1.b) Montrer que le triangle $OAB$ est isocèle.

2.a) Vérifier que $\frac{a-c}{b-c}=i$.

2.b) En déduire la nature du triangle $ABC$.

3.a) Déterminer l'affixe du point $D$ image de $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{CA}$.

3.b) Montrer que $ADBC$ est un carré.

4) On pose $x_n={\left(\frac{a}{3}\right)}^n$ et $y_n=\frac{1}{1-x_n}$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

4.a) Vérifier que $x_n{\bar{x}}_n=1$.

4.b) Montrer que $y_n+{\bar{y}}_n=1$, puis en déduire la partie réelle de $y_n$.