Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2024 session de rattrapage — Problème · Partie I : inégalités et suite $(u_n)$

1)

Le graphique ci-contre représente les courbes $(C_g)$ et $(C_h)$ des fonctions $g:x\mapsto \frac{x}{1+x}$ et $h:x\mapsto \ln (1+x)$ définies sur $]-1,+\infty [$, et la droite d'équation $y=x$.

1.a) À partir du graphique, justifier que $\frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)\le x$ pour tout $x\in ]-1,+\infty [$.

[Figure — voir le PDF]

[start=2]

1.a) En déduire que $(1+x)\ln (1+x)-x\ge 0$ pour tout $x\in ]-1,+\infty [$.

1.b) Prouver que $e^x-(1+e^x)\ln (1+e^x)\le 0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

2) Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=g(u_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

2.a) Montrer par récurrence que $0<u_n\le 1$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

2.b) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.

2.c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

2.d) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.