Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2024 session de rattrapage — Problème · Partie II : étude de $f (x) = e^{- x} ln (1 + e^{x})$

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session de rattrapage 2024. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $R$ par $f (x) = e^{- x} ln (1 + e^{x})$ . Soit $(C_{f})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, i, j)$ .

1.a) Calculer $f (0)$ et vérifier que $f (x) > 0$ pour tout $x \in R$ .

1.b) Montrer que $f (x) = \frac{l n ( 1 + e ^{x} )}{e ^{x}}$ et en déduire que $x \to - \infty lim f (x) = 1$ . Interpréter géométriquement.

1.c) Montrer que $x \to + \infty lim f (x) = 0$ et interpréter géométriquement.

2.a) Montrer que pour tout $x \in R$ : $f^{'} (x) = e^{- x} (\frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}} - ln (1 + e^{x}))$ .

2.b) Vérifier que pour tout $x \in R$ : $f^{'} (x) = \frac{e ^{x} - ( 1 + e ^{x} ) l n ( 1 + e ^{x} )}{e ^{x} ( 1 + e ^{x} )}$ .

2.c) En déduire que $f$ est strictement décroissante sur $R$ .

3.a) Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C_{f})$ au point d'abscisse $0$ .

3.b) Vérifier que $(T)$ passe par le point $A (1, \frac{1}{2})$ .

3.c) Construire $(T)$ et $(C_{f})$ dans le repère $(O, i, j)$ (on prendra $ln 2 \approx 0, 7$ ).

4.a) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{- 1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer.

4.b) Vérifier que $f^{- 1}$ est dérivable en $ln 2$ et calculer $(f^{- 1})^{'} (ln 2)$ .

5) Soit $λ$ un réel strictement positif.

5.a) Vérifier que $\frac{e ^{- x}}{1 + e ^{x}} = \frac{e ^{- 2 x}}{1 + e ^{- x}}$ .

5.b) Montrer que $\int_{0}^{λ} \frac{1}{1 + e ^{x}} d x = ln (2) - ln (1 + e^{- λ})$ .

5.c) Montrer que $\int_{0}^{λ} f (x) d x = ln (2) - f (λ) + \int_{0}^{λ} \frac{1}{1 + e ^{x}} d x$ .

5.d) En déduire, en fonction de $λ$ , l'aire $A (λ)$ délimitée par $(C_{f})$ , l'axe des abscisses, et les droites $x = 0$ et $x = λ$ .

5.e) Calculer $λ \to + \infty lim A (λ)$ .

Corrigé

1.a) Calculer $f (0)$ et vérifier que $f (x) > 0$ sur $R$ .

$f (0) = e^{0} ln (1 + e^{0}) = ln 2$ . Pour tout $x$ : $e^{- x} > 0$ et $1 + e^{x} > 1 \Rightarrow ln (1 + e^{x}) > 0$ .

⇒

f (0) = ln 2

f (x) > 0

pour tout

x \in R

1.b) Montrer que $f (x) = \frac{ln ( 1 + e ^{x} )}{e ^{x}}$ , et en déduire $x \to - \infty lim f (x) = 1$ .

Comme $e^{- x} = \frac{1}{e ^{x}}$ , on a immédiatement $f (x) = \frac{ln ( 1 + e ^{x} )}{e ^{x}}$ .

Rappel. Limite usuelle : $X \to 0 lim \frac{ln ( 1 + X )}{X} = 1$ .

On pose $X = e^{x}$ : quand $x \to - \infty$ , $X \to 0^{+}$ , donc $x \to - \infty lim f (x) = X \to 0^{+} lim \frac{ln ( 1 + X )}{X} = 1 .$

⇒ La droite

y = 1

est asymptote horizontale à

(C_{f})

au voisinage de

- \infty

Remarque. L'énoncé laisse ici un emplacement vide (« Montrer que … ») : la quantité à établir est précisément $f (x) = \frac{ln ( 1 + e ^{x} )}{e ^{x}}$ , qui ramène la limite à la limite usuelle ci-dessus.

1.c) Montrer que $x \to + \infty lim f (x) = 0$ et interpréter.

Avec $X = e^{x} \to + \infty$ : $f (x) = \frac{ln ( 1 + e ^{x} )}{e ^{x}}$ , et par croissances comparées $\frac{ln ( 1 + X )}{X} \to 0$ (car $ln (1 + X) \sim ln X$ et $\frac{ln X}{X} \to 0$ ). Donc $x \to + \infty lim f (x) = 0 .$

⇒ La droite

y = 0

(axe des abscisses) est asymptote horizontale au voisinage de

+ \infty

2.a) Montrer que $f^{'} (x) = e^{- x} (\frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}} - ln (1 + e^{x}))$ .

Rappel. $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , avec ici $u = e^{- x}$ ( $u^{'} = - e^{- x}$ ) et $v = ln (1 + e^{x})$ $(v^{'} = \frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}})$ .

$f^{'} (x) = - e^{- x} ln (1 + e^{x}) + e^{- x} \cdot \frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}} = e^{- x} (\frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}} - ln (1 + e^{x})) .$

2.b) Vérifier que $f^{'} (x) = \frac{e ^{x} - ( 1 + e ^{x} ) ln ( 1 + e ^{x} )}{e ^{x} ( 1 + e ^{x} )}$ .

On réduit la parenthèse au même dénominateur $1 + e^{x}$ , puis on utilise $e^{- x} = \frac{1}{e ^{x}}$ : $f^{'} (x) = e^{- x} \cdot \frac{e ^{x} - ( 1 + e ^{x} ) ln ( 1 + e ^{x} )}{1 + e ^{x}} = \frac{e ^{x} - ( 1 + e ^{x} ) ln ( 1 + e ^{x} )}{e ^{x} ( 1 + e ^{x} )} .$

2.c) En déduire que $f$ est strictement décroissante sur $R$ .

Le dénominateur $e^{x} (1 + e^{x}) > 0$ , et d'après la Partie I-1.c, le numérateur $e^{x} - (1 + e^{x}) ln (1 + e^{x}) \leq 0$ (et même $< 0$ car $e^{x} > 0$ ). Donc $f^{'} (x) < 0$ sur $R$ .

⇒

f

est strictement décroissante sur

R

2.d) [](Les limites $1$ en $- \infty$ et $0$ en $+ \infty$ donnent les bornes des variations.)

3.a) Équation de la tangente $(T)$ à $(C_{f})$ en $0$ .

Rappel. $(T) : y = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$ . Ici $x_{0} = 0$ .

$f^{'} (0) = \frac{e ^{0} - ( 1 + e ^{0} ) ln ( 1 + e ^{0} )}{e ^{0} ( 1 + e ^{0} )} = \frac{1 - 2 ln 2}{2} = \frac{1}{2} - ln 2$ , et $f (0) = ln 2$ . D'où $(T) : y = (\frac{1}{2} - ln 2) x + ln 2.$

3.b) Vérifier que $(T)$ passe par $A (1, \frac{1}{2})$ .

Pour

x = 1

y = (\frac{1}{2} - ln 2) + ln 2 = \frac{1}{2}

⇒

A (1, \frac{1}{2}) \in (T)

3.c) Construire $(T)$ et $(C_{f})$ .

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