Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2025 session normale — Exercice 2 : Nombres complexes

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session normale 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, u, v)$ , on considère les points $A, B, C, D$ et $Ω$ d'affixes respectives : $a = 1 + 2 i, b = a ˉ, c = \frac{3}{2} (3 + i), d = \frac{3}{2} (1 + i) et ω = \frac{5}{2}$

1.a) Vérifier que $a + b = 2$ et en déduire que l'affixe du point $P$ , milieu du segment $[A B]$ , est $p = 1$ .

1.b) Montrer que $a$ et $b$ sont les solutions de l'équation $z^{2} - 2 z + 5 = 0$ dans l'ensemble $C$ .

2.a) Vérifier que $∣ ω - a ∣ = ∣ ω - b ∣ = ∣ ω - c ∣ = \frac{5}{2}$ .

2.b) En déduire que $Ω$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $A B C$ .

3.a) Vérifier que $\frac{d - c}{a - b} = \frac{3}{4} i$ .

3.b) Montrer que $d - b = i (c - a)$ puis en déduire que les droites $(D B)$ et $(A C)$ sont perpendiculaires.

4) Soit $h$ l'homothétie de centre $C$ et de rapport $k = \frac{2}{3}$ qui transforme chaque point $M$ d'affixe $z$ en un point $M^{'}$ d'affixe $z^{'}$ . On pose $h (P) = G$ .

4.a) Vérifier que $z^{'} = \frac{2}{3} z + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ .

4.b) Montrer que l'affixe du point $G$ est $g = \frac{13}{6} + \frac{1}{2} i$ .

5) Montrer que les points $Ω$ , $G$ et $D$ sont alignés.

Corrigé

$a = 1 + 2 i$ , $b = a ˉ = 1 - 2 i$ , $c = \frac{3}{2} (3 + i) = \frac{9}{2} + \frac{3}{2} i$ , $d = \frac{3}{2} (1 + i) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i$ , $ω = \frac{5}{2}$ .

1.a) Vérifier $a + b = 2$ , en déduire $p$ . $a + b = (1 + 2 i) + (1 - 2 i) = 2$ . Le milieu $P$ de $[A B]$ a pour affixe $p = \frac{a + b}{2} = 1$ .

1.b) Montrer que $a, b$ sont solutions de $z^{2} - 2 z + 5 = 0$ .

Rappel. $a$ et $b$ sont les racines de $z^{2} - S z + P = 0$ avec $S = a + b$ et $P = a b$ .

$a + b = 2$ et $a b = (1 + 2 i) (1 - 2 i) = 1 - (2 i)^{2} = 1 + 4 = 5$ .

⇒

a

b

sont les solutions de

z^{2} - 2 z + 5 = 0

2.a) Vérifier que $∣ ω - a ∣ = ∣ ω - b ∣ = ∣ ω - c ∣ = \frac{5}{2}$ . $ω - a = \frac{3}{2} - 2 i, ω - b = \frac{3}{2} + 2 i, ω - c = - 2 - \frac{3}{2} i .$ $∣ ω - a ∣ = \frac{9}{4} + 4 = \frac{25}{4} = \frac{5}{2}, ∣ ω - b ∣ = \frac{5}{2}, ∣ ω - c ∣ = 4 + \frac{9}{4} = \frac{25}{4} = \frac{5}{2} .$

⇒

∣ ω - a ∣ = ∣ ω - b ∣ = ∣ ω - c ∣ = \frac{5}{2}

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