Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2025 session normale — Problème · Partie I : inégalités et calculs d'aires

1)

Le graphique ci-contre représente les courbes $(C_g)$ et $(C_h)$ des fonctions $g:x\mapsto x^2$ et $h:x\mapsto 2\ln x-(\ln x{)}^2$ définies sur $]0,+\infty [$ dans un même repère orthonormé.

1.a) Justifier graphiquement que pour tout $x\in ]0,+\infty [$ : $g(x)-h(x)>0$.

1.b) En déduire que pour tout $x\in ]0,+\infty [$ : $\frac{2\ln x-(\ln x{)}^2}{x^2}<1$.

2.a) Vérifier que la fonction $H:x\mapsto x\ln x-x$ est une primitive de la fonction $x\mapsto \ln x$ sur $]0,+\infty [$, puis en déduire que ${\int }_1^{e^2}\ln x\mathrm{d}x=1+e^2$.

2.b) En utilisant une intégration par parties, montrer que ${\int }_1^{e^2}(\ln x{)}^2\mathrm{d}x=2e^2-2$.

2.c) Résoudre sur l'intervalle $]0,+\infty [$ l'équation $h(x)=0$ et en déduire les deux points d'intersection de la courbe $(C_h)$ avec l'axe des abscisses.

2.d) En déduire, en unités d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $(C_h)$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=1$ et $x=e^2$.