Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2025 session normale — Problème · Partie III : suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = e$ , $u_{n + 1} = f (u_{n})$

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session normale 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $] 0, + \infty [$ par $f (x) = x - \frac{( ln x ) ^{2}}{x}$ .

Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par $u_{0} = e$ et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ pour tout $n \in N$ .

1) Montrer par récurrence que $1 < u_{n}$ pour tout $n \in N$ .

2.a) Montrer que la suite $(u_{n})$ est décroissante. (On peut utiliser la question Partie II-3-c)

2.b) En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente.

2.c) Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .

Corrigé

1) Montrer par récurrence que $1 < u_{n}$ pour tout $n \in N$ .

Initialisation. $u_{0} = e > 1$ . Hérédité. Supposons $u_{n} > 1$ . Comme $f$ est strictement croissante et $f (1) = 1$ : $u_{n + 1} = f (u_{n}) > f (1) = 1$ .

⇒ Par récurrence,

u_{n} > 1

pour tout

n \in N

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Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2025 session normale — Problème · Partie III : suite (un​) définie par u0​=e, un+1​=f(un​)

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