Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2025 session de rattrapage — Exercice 1 : Suites numériques

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session de rattrapage 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = \frac{3}{2}$ et $u_{n + 1} = \frac{3 u _{n} + 2}{2 + u _{n}}$ pour tout $n \in N$ .

1.a) Vérifier que $u_{n + 1} = 3 - \frac{4}{2 + u _{n}}$ pour tout $n \in N$ .

1.b) Montrer par récurrence que $0 < u_{n} < 2$ pour tout $n \in N$ .

2.a) Montrer que $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{( 1 + u _{n} ) ( 2 - u _{n} )}{2 + u _{n}}$ pour tout $n \in N$ .

2.b) Montrer que la suite $(u_{n})$ est croissante et en déduire qu'elle est convergente.

3.a) Montrer que $0 < 2 - u_{n + 1} \leq \frac{2}{7} (2 - u_{n})$ pour tout $n \in N$ .

3.b) En déduire que $0 < 2 - u_{n} \leq \frac{1}{2} (\frac{2}{7})^{n}$ pour tout $n \in N$ .

3.c) Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .

Corrigé

$(u_{n})$ : $u_{0} = \frac{3}{2}$ et $u_{n + 1} = \frac{3 u _{n} + 2}{2 + u _{n}}$ .

1.a) Vérifier que $u_{n + 1} = 3 - \frac{4}{2 + u _{n}}$ . $3 - \frac{4}{2 + u _{n}} = \frac{3 ( 2 + u _{n} ) - 4}{2 + u _{n}} = \frac{6 + 3 u _{n} - 4}{2 + u _{n}} = \frac{3 u _{n} + 2}{2 + u _{n}} = u_{n + 1} . ✓$

1.b) Montrer par récurrence que $0 < u_{n} < 2$ .

Initialisation. $u_{0} = \frac{3}{2} \in] 0, 2 [$ . Hérédité. Si $0 < u_{n} < 2$ , alors $2 < 2 + u_{n} < 4$ , donc $\frac{1}{4} < \frac{1}{2 + u _{n}} < \frac{1}{2}$ , d'où $- 2 < - \frac{4}{2 + u _{n}} < - 1$ et $1 < u_{n + 1} < 2$ . En particulier $0 < u_{n + 1} < 2$ .

⇒ Par récurrence,

0 < u_{n} < 2

pour tout

n \in N

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