Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2025 session de rattrapage — Exercice 3 : Nombres complexes

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session de rattrapage 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, u, v)$ , on considère les points $A, B, C, D$ d'affixes respectives : $a = \frac{- 3 + i}{2}, b = \frac{1 - i 3}{2}, c = 1 + a et d = c a ˉ$

1) Vérifier que $∣ a ∣ = 1$ et que $ar g (a) \equiv \frac{5 π}{6} (mod 2 π)$ .

2) Vérifier que $\frac{c - d}{c - a} = i$ et en déduire que le triangle $A C D$ est rectangle isocèle en $C$ .

3.a) Montrer que $d - a = 1 - i$ et que $b - d = \frac{3 - 1}{2} (1 - i)$ .

3.b) En déduire que les points $A$ , $D$ et $B$ sont alignés.

4) Soit $R$ la transformation du plan qui transforme chaque point $M$ d'affixe $z$ en $M^{'}$ d'affixe $z^{'}$ tel que $z^{'} = a z$ .

4.a) Vérifier que $R$ est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.

4.b) Vérifier que $a d = c$ et en déduire que $R (D) = C$ .

4.c) Montrer que $ar g (c) \equiv \frac{5 π}{12} (mod 2 π)$ .

Corrigé

$a = \frac{- 3 + i}{2}$ , $b = \frac{1 - i 3}{2}$ , $c = 1 + a$ , $d = c a ˉ$ .

1) Vérifier que $∣ a ∣ = 1$ et $ar g (a) \equiv \frac{5 π}{6}$ .

$a = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ , donc $∣ a ∣ = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ , et $a = cos \frac{5 π}{6} + i sin \frac{5 π}{6}$ (car $cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}$ , $sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}$ ).

⇒

∣ a ∣ = 1

ar g (a) \equiv \frac{5 π}{6} (mod 2 π)

, soit

a = e^{i 5 π /6}

2) Vérifier $\frac{c - d}{c - a} = i$ et nature du triangle $A C D$ .

Comme $c = 1 + a$ , on a $c - a = 1$ . De plus $d = c a ˉ$ , donc $c - d = c - c a ˉ = c (1 - a ˉ)$ . Avec $c = \frac{2 - 3}{2} + \frac{1}{2} i$ et $1 - a ˉ = \frac{2 + 3}{2} + \frac{1}{2} i$ : $c (1 - a ˉ) = (\frac{2 - 3}{2} + \frac{1}{2} i) (\frac{2 + 3}{2} + \frac{1}{2} i) = = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0 (\frac{( 2 - 3 ) ( 2 + 3 )}{4} - \frac{1}{4}) + = 1 (\frac{2 - 3}{4} + \frac{2 + 3}{4}) i = i .$ Donc $\frac{c - d}{c - a} = \frac{i}{1} = i$ .

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