Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2025 session de rattrapage — Problème · partie 1 : limites et asymptotes de $f(x)=x-1+\frac{4}{e^x+2}$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=x-1+\frac{4}{e^x+2}$$ Soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

1) Calculer $f(0)$ et $f(\ln 2)$.

2.a) Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.

2.b) Vérifier que $\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-(x-1))=0$, puis interpréter géométriquement ce résultat.

3.a) Vérifier que pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $f(x)=x+1-\frac{2e^x}{e^x+2}$.

3.b) Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{e^x}{e^x+2}$, puis en déduire que la droite d'équation $y=x+1$ est une asymptote oblique à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$.

3.c) Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $-1<f(x)-x<1$.