Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2025 session de rattrapage — Problème · partie 2 : variations, convexité et point d'inflexion de $f$

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session de rattrapage 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par : $f (x) = x - 1 + \frac{4}{e ^{x} + 2}$ Soit $(C_{f})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, i, j)$ .

4.a) Montrer que pour tout $x \in R$ : $f^{'} (x) = \frac{e ^{2 x} + 4}{( e ^{x} + 2 ) ^{2}}$ .

4.b) En déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur $R$ .

5.a) Montrer que pour tout $m \in R$ , l'équation $f (x) = m$ admet une unique solution dans $R$ .

5.b) Soit $α$ l'unique solution de l'équation $f (x) = 0$ . Vérifier que $- 1 < α < 0$ et montrer que $e^{α} = \frac{2 ( 1 + α )}{1 - α}$ .

6.a) Montrer que pour tout $x \in R$ : $f^{''} (x) = \frac{4 e ^{x} ( e ^{x} - 2 )}{( e ^{x} + 2 ) ^{3}}$ .

6.b) Étudier le signe de $e^{x} - 2$ sur $R$ .

6.c) En déduire que la courbe $(C_{f})$ admet un point d'inflexion que l'on déterminera.

6.d) Montrer que $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} ln 2$ est l'équation de la tangente à $(C_{f})$ au point d'abscisse $ln 2$ .

7) Construire la courbe $(C_{f})$ dans le repère $(O, i, j)$ .

Corrigé

4.a) Montrer que $f^{'} (x) = \frac{e ^{2 x} + 4}{( e ^{x} + 2 ) ^{2}}$ .

$f (x) = x - 1 + 4 (e^{x} + 2)^{- 1}$ , donc $f^{'} (x) = 1 - \frac{4 e ^{x}}{( e ^{x} + 2 ) ^{2}} = \frac{( e ^{x} + 2 ) ^{2} - 4 e ^{x}}{( e ^{x} + 2 ) ^{2}}$ . Or $(e^{x} + 2)^{2} - 4 e^{x} = e^{2 x} + 4 e^{x} + 4 - 4 e^{x} = e^{2 x} + 4$ . $f^{'} (x) = \frac{e ^{2 x} + 4}{( e ^{x} + 2 ) ^{2}}$ .

4.b) En déduire que $f$ est strictement croissante.

Le numérateur $e^{2 x} + 4 > 0$ et le dénominateur $(e^{x} + 2)^{2} > 0$ , donc $f^{'} (x) > 0$ .

⇒

f

est strictement croissante sur

R

5.a) Pour tout $m \in R$ , $f (x) = m$ admet une unique solution.

$f$ est continue et strictement croissante sur $R$ , avec $- \infty lim f = - \infty$ et $+ \infty lim f = + \infty$ : elle réalise une bijection de $R$ sur $R$ .

⇒ Pour tout

m \in R

f (x) = m

admet une unique solution.

5.b) $α$ : solution de $f (x) = 0$ . Vérifier $- 1 < α < 0$ et $e^{α} = \frac{2 ( 1 + α )}{1 - α}$ .

$f (- 1) = - 2 + \frac{4}{e ^{- 1} + 2} \approx - 0, 31 < 0$ et $f (0) = \frac{1}{3} > 0$ : par stricte croissance, $- 1 < α < 0$ . De $f (α) = 0$ : $α - 1 + \frac{4}{e ^{α} + 2} = 0 \Rightarrow \frac{4}{e ^{α} + 2} = 1 - α \Rightarrow e^{α} + 2 = \frac{4}{1 - α} \Rightarrow e^{α} = \frac{4 - 2 ( 1 - α )}{1 - α}$ .

⇒

e^{α} = \frac{2 ( 1 + α )}{1 - α}

(licite car

1 - α > 0

6.a) Montrer que $f^{''} (x) = \frac{4 e ^{x} ( e ^{x} - 2 )}{( e ^{x} + 2 ) ^{3}}$ .

En dérivant $f^{'} (x) = (e^{2 x} + 4) (e^{x} + 2)^{- 2}$ : $f^{''} (x) = \frac{2 e ^{2 x} ( e ^{x} + 2 ) - 2 e ^{x} ( e ^{2 x} + 4 )}{( e ^{x} + 2 ) ^{3}} = \frac{2 e ^{x} [ e ^{2 x} + 2 e ^{x} - e ^{2 x} - 4 ]}{( e ^{x} + 2 ) ^{3}} = \frac{2 e ^{x} ( 2 e ^{x} - 4 )}{( e ^{x} + 2 ) ^{3}} = \frac{4 e ^{x} ( e ^{x} - 2 )}{( e ^{x} + 2 ) ^{3}} .$

6.b) Signe de $e^{x} - 2$ . $e^{x} - 2 > 0 ⟺ x > ln 2$ ; $e^{x} - 2 < 0 ⟺ x < ln 2$ ; $e^{x} - 2 = 0 ⟺ x = ln 2$ .

6.c) Point d'inflexion.

$4 e^{x} > 0$ et $(e^{x} + 2)^{3} > 0$ : le signe de $f^{''}$ est celui de $e^{x} - 2$ . Donc $f^{''}$ s'annule en changeant de signe en $x = ln 2$ , et $f (ln 2) = ln 2$ .

⇒

(C_{f})

admet un point d'inflexion

I (ln 2, ln 2)

6.d) Tangente en $ln 2$ .

$f^{'} (ln 2) = \frac{e ^{2 l n 2} + 4}{( e ^{l n 2} + 2 ) ^{2}} = \frac{4 + 4}{( 2 + 2 ) ^{2}} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ , et $f (ln 2) = ln 2$ . Donc $(T) : y = \frac{1}{2} (x - ln 2) + ln 2 = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} ln 2 .$

7) Construire $(C_{f})$ .

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