Corrigé bac maths Sciences Physiques (Maroc) 2019 session normale — Exercice 1 : Géométrie dans l'espace

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Physiques, session normale 2019. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O, i, j, k)$ , on considère les points $A (1, - 1, - 1)$ , $B (0, - 2, 1)$ et $C (1, - 2, 0)$ .

1.a) Montrer que $A B \land A C = i + j + k$ .

1.b) En déduire que $x + y + z + 1 = 0$ est une équation cartésienne du plan $(A B C)$ .

2) Soit $(S)$ la sphère d'équation $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 2 z + 1 = 0$ . Montrer que le centre de la sphère $(S)$ est $Ω (2, - 1, 1)$ et que son rayon est $R = 5$ .

3.a) Calculer $d (Ω, (A B C))$ la distance du point $Ω$ au plan $(A B C)$ .

3.b) En déduire que le plan $(A B C)$ coupe la sphère $(S)$ selon un cercle $(Γ)$ (la détermination du centre et du rayon de $(Γ)$ n'est pas demandée).

Corrigé

On travaille dans un repère orthonormé direct $(O, i, j, k)$ avec $A (1, - 1, - 1)$ , $B (0, - 2, 1)$ et $C (1, - 2, 0)$ .

1.a) Montrer que $A B \land A C = i + j + k$ .

Rappel. Coordonnées d'un vecteur : $A B = (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A})$ . Produit vectoriel de $u (a, b, c)$ et $v (a^{'}, b^{'}, c^{'})$ : $u \land v = (b c^{'} - c b^{'}, c a^{'} - a c^{'}, a b^{'} - b a^{'}) .$

On calcule d'abord les deux vecteurs : $A B A C = (0 - 1, - 2 - (- 1), 1 - (- 1)) = (- 1, - 1, 2), = (1 - 1, - 2 - (- 1), 0 - (- 1)) = (0, - 1, 1) .$ Puis on applique la formule, coordonnée par coordonnée : $1^{re} 2^{e} 3^{e} : (- 1) \times 1 - 2 \times (- 1) = - 1 + 2 = 1, : 2 \times 0 - (- 1) \times 1 = 0 + 1 = 1, : (- 1) \times (- 1) - (- 1) \times 0 = 1 - 0 = 1.$

⇒

A B \land A C = (1, 1, 1) = i + j + k

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