Corrigé bac maths Sciences Physiques (Maroc) 2019 session de rattrapage — Exercice 1 : Géométrie dans l'espace

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Physiques, session de rattrapage 2019. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O, i, j, k)$ , on considère les points $A (1, 2, 2)$ , $B (3, - 1, 6)$ et $C (1, 1, 3)$ .

1.a) Vérifier que $A B \land A C = i - 2 j - 2 k$ .

1.b) En déduire que $x - 2 y - 2 z + 7 = 0$ est une équation cartésienne du plan $(A B C)$ .

2) Soient les points $E (5, 1, 4)$ et $F (- 1, 1, 12)$ , et soit $(S)$ l'ensemble des points $M$ vérifiant $M E \cdot M F = 0$ . Montrer que $(S)$ est la sphère de centre $Ω (2, 1, 8)$ et de rayon $R = 5$ .

3.a) Calculer $d (Ω, (A B C))$ la distance du point $Ω$ au plan $(A B C)$ .

3.b) En déduire que le plan $(A B C)$ coupe la sphère $(S)$ selon un cercle $(Γ)$ de rayon $r = 4$ .

Corrigé

Repère orthonormé direct $(O, i, j, k)$ , avec $A (1, 2, 2)$ , $B (3, - 1, 6)$ et $C (1, 1, 3)$ .

1.a) Vérifier que $A B \land A C = i - 2 j - 2 k$ .

Rappel. $A B = (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A})$ . Produit vectoriel de $u (a, b, c)$ et $v (a^{'}, b^{'}, c^{'})$ : $u \land v = (b c^{'} - c b^{'}, c a^{'} - a c^{'}, a b^{'} - b a^{'}) .$

On calcule les deux vecteurs : $A B A C = (3 - 1, - 1 - 2, 6 - 2) = (2, - 3, 4), = (1 - 1, 1 - 2, 3 - 2) = (0, - 1, 1) .$ Puis, coordonnée par coordonnée : $1^{re} 2^{e} 3^{e} : (- 3) (1) - (4) (- 1) = - 3 + 4 = 1, : - [(2) (1) - (4) (0)] = - 2, : (2) (- 1) - (- 3) (0) = - 2.$

⇒

A B \land A C = (1, - 2, - 2) = i - 2 j - 2 k

1.b) En déduire l'équation $x - 2 y - 2 z + 7 = 0$ du plan $(A B C)$ .

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