Corrigé bac maths Sciences Physiques (Maroc) 2022 session normale — Exercice 1 : Géométrie dans l'espace

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Physiques, session normale 2022. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O, i, j, k)$ , on considère les points $A (0, 1, 1)$ , $B (1, 2, 0)$ et $C (- 1, 1, 2)$ .

1.a) Montrer que $A B \land A C = i + k$ .

1.b) En déduire que $x + z - 1 = 0$ est une équation cartésienne du plan $(A B C)$ .

2) Soit $(S)$ la sphère de centre $Ω (1, 1, 2)$ et de rayon $R = 2$ . Déterminer une équation cartésienne de la sphère $(S)$ .

3) Montrer que le plan $(A B C)$ est tangent à la sphère $(S)$ au point $A$ .

4) On considère la droite $(Δ)$ passant par le point $C$ et perpendiculaire au plan $(A B C)$ .

4.a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(Δ)$ .

4.b) Montrer que la droite $(Δ)$ est tangente à la sphère $(S)$ en un point $D$ dont on déterminera les coordonnées.

4.c) Calculer le produit scalaire $A C \cdot (i + k)$ , puis en déduire la distance $d (A, (Δ))$ .

Corrigé

$A (0, 1, 1)$ , $B (1, 2, 0)$ , $C (- 1, 1, 2)$ .

1.a) Montrer que $A B \land A C = i + k$ .

$A B = (1, 1, - 1)$ et $A C = (- 1, 0, 1)$ .

Rappel. $u \land v = (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}, u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}, u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1})$ .

$A B \land A C = (1 \cdot 1 - (- 1) \cdot 0, (- 1) (- 1) - 1 \cdot 1, 1 \cdot 0 - 1 \cdot (- 1)) = (1, 0, 1) = i + k .$

1.b) En déduire que $x + z - 1 = 0$ est une équation de $(A B C)$ .

$n = A B \land A C = (1, 0, 1)$ est normal à $(A B C)$ , d'où une équation $x + z + d = 0$ . Comme $A (0, 1, 1) \in (A B C)$ : $0 + 1 + d = 0$ , soit $d = - 1$ .

⇒

(A B C) : x + z - 1 = 0

2) Équation de la sphère $(S)$ de centre $Ω (1, 1, 2)$ , rayon $R = 2$ . $(S) : (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 2.$

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