Corrigé bac maths Sciences Physiques (Maroc) 2022 session de rattrapage — Exercice 2 : Géométrie dans l'espace

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les points $A(1,-1,1)$ et $B(5,1,-3)$. Soit $(S)$ la sphère de centre $\Omega (3,0,-1)$ et de rayon $R=3$, et $(\Delta )$ la droite passant par le point $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(2,-2,1)$.

1.a) Calculer la distance $\Omega A$.

1.b) Montrer que la droite $(\Delta )$ et la droite $(\Omega A)$ sont perpendiculaires.

1.c) En déduire la position relative de la droite $(\Delta )$ et de la sphère $(S)$.

2) Soit $M_a(2a-3,3-2a,a-1)$ où $a\in \mathbb{R}$. Montrer que $\overrightarrow{A{M}_a}=(a-2)\overrightarrow{u}$ et en déduire que $M_a\in (\Delta )$ pour tout $a\in \mathbb{R}$.

3.a) Vérifier que $2x-2y+z-9a+13=0$ est une équation du plan $(P_a)$ passant par $M_a$ et perpendiculaire à la droite $(\Delta )$.

3.b) Montrer que $d(\Omega ,(P_a))=|3a-6|$.

3.c) Déterminer les deux valeurs de $a$ pour lesquelles le plan $(P_a)$ est tangent à la sphère $(S)$.