Corrigé bac maths Sciences Physiques (Maroc) 2023 session normale — Exercice 1 : Géométrie dans l'espace

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Physiques, session normale 2023. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O, i, j, k)$ , on considère les points $A (0, 1, 4)$ , $B (2, 1, 2)$ , $C (2, 5, 0)$ et $Ω (3, 4, 4)$ .

1.a) Montrer que $A B \land A C = 4 (2 i + j + 2 k)$ .

1.b) En déduire l'aire du triangle $A B C$ et la distance $d (B, (A C))$ .

2) Soit $D$ le milieu du segment $[A C]$ .

2.a) Vérifier que $D Ω = \frac{1}{4} (A B \land A C)$ .

2.b) En déduire que $d (Ω, (A B C)) = 3$ .

3) Soit $(S)$ la sphère d'équation $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x - 8 y - 8 z + 32 = 0$ .

3.a) Déterminer le centre et le rayon de la sphère $(S)$ .

3.b) Montrer que le plan $(A B C)$ est tangent à la sphère $(S)$ en un point que l'on déterminera.

4) Soient $(Q_{1})$ et $(Q_{2})$ les deux plans parallèles à $(A B C)$ tels que chacun d'eux coupe $(S)$ suivant un cercle de rayon $5$ . Déterminer une équation cartésienne pour chacun des deux plans $(Q_{1})$ et $(Q_{2})$ .

Corrigé

$A (0, 1, 4)$ , $B (2, 1, 2)$ , $C (2, 5, 0)$ , $Ω (3, 4, 4)$ .

1.a) Montrer $A B \land A C = 4 (2 i + j + 2 k)$ .

$A B = (2, 0, - 2)$ , $A C = (2, 4, - 4)$ . Alors $A B \land A C = (0 \cdot (- 4) - (- 2) \cdot 4, (- 2) \cdot 2 - 2 \cdot (- 4), 2 \cdot 4 - 0 \cdot 2) = (8, 4, 8) = 4 (2, 1, 2) .$

1.b) Aire de $A B C$ et $d (B, (A C))$ .

$A = \frac{1}{2} ∥ A B \land A C ∥ = \frac{1}{2} 8^{2} + 4^{2} + 8^{2} = \frac{1}{2} 144 = 6$ . Comme $A = \frac{1}{2} A C \cdot d (B, (A C))$ et $A C = 4 + 16 + 16 = 6$ : $d (B, (A C)) = \frac{2 A}{A C} = \frac{∥ A B \land A C ∥}{A C} = \frac{12}{6} = 2 .$

2) $D$ milieu de $[A C]$ .

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