Corrigé bac maths Sciences Physiques (Maroc) 2023 session de rattrapage — Exercice 2 : Géométrie dans l'espace

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les points $A(2,1,2)$, $B(-2,0,5)$, $C(4,-5,7)$ et $\Omega (1,-1,0)$. On pose $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\Omega A}$. Soit $(S)$ la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R=3$.

1.a) Montrer que $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=13\overrightarrow{u}$ et en déduire que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

1.b) Vérifier que $x+2y+2z-8=0$ est une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

1.c) Montrer que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $(S)$ au point $A$.

2) Soient $(P)$ le plan d'équation $3x+4y+z+1=0$ et $(\Delta )$ la droite passant par le point $A$ et orthogonale au plan $(P)$.

2.a) Montrer que la droite $(\Delta )$ coupe le plan $(P)$ au point $H\left(\frac{1}{2},-1,\frac{3}{2}\right)$.

2.b) Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que le point $H$ soit le milieu du segment $[AD]$.

3) Soit $(Q)$ le plan passant par le point $D$ et de vecteur normal $\overrightarrow{\Omega D}$.

3.a) Montrer que le plan $(Q)$ est tangent à la sphère $(S)$ en $D$.

3.b) Montrer que les plans $(Q)$ et $(ABC)$ se coupent suivant la droite $(BC)$.