Corrigé bac maths Sciences Physiques (Maroc) 2024 session normale — Exercice 2 : Géométrie dans l'espace

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Physiques, session normale 2024. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O, i, j, k)$ , on considère les points $A (- 1, 0, - 1)$ et $B (1, 2, - 1)$ , le plan $(P)$ passant par $A$ et de vecteur normal $n (2, - 2, 1)$ , et la sphère $(S)$ de centre $Ω (2, - 1, 0)$ et de rayon $R = 5$ .

1) Montrer que $2 x - 2 y + z + 3 = 0$ est une équation cartésienne du plan $(P)$ .

2) Déterminer une équation cartésienne de la sphère $(S)$ .

3.a) Vérifier que la distance du point $Ω$ au plan $(P)$ est $d (Ω, (P)) = 3$ .

3.b) En déduire que le plan $(P)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle $(Γ)$ de rayon $r$ à déterminer.

4.a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(Δ)$ passant par $Ω$ et perpendiculaire au plan $(P)$ .

4.b) Montrer que le point $H (0, 1, - 1)$ est le centre du cercle $(Γ)$ .

4.c) Montrer que la droite $(Δ)$ est la médiatrice du segment $[A B]$ .

Corrigé

Points $A (- 1, 0, - 1)$ et $B (1, 2, - 1)$ . Plan $(P)$ passant par $A$ , de vecteur normal $n (2, - 2, 1)$ . Sphère $(S)$ de centre $Ω (2, - 1, 0)$ et de rayon $R = 5$ .

1) Montrer que $(P) : 2 x - 2 y + z + 3 = 0$ .

Rappel. Un plan de vecteur normal $n (a, b, c)$ a une équation $a x + b y + cz + d = 0$ ; on trouve $d$ en écrivant qu'un point connu appartient au plan.

$(P) : 2 x - 2 y + z + d = 0$ . Comme $A (- 1, 0, - 1) \in (P)$ : $2 (- 1) - 2 (0) + (- 1) + d = 0 ⟹ - 3 + d = 0 ⟹ d = 3.$

⇒

(P) : 2 x - 2 y + z + 3 = 0

2) Équation cartésienne de la sphère $(S)$ .

Rappel. Sphère de centre $Ω (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ et rayon $R$ : $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = R^{2}$ .

$(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 25 ⟹ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 20 = 0 .$

3.a) Vérifier que $d (Ω, (P)) = 3$ .

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