Corrigé bac maths Sciences Physiques (Maroc) 2024 session de rattrapage — Exercice 1 : Géométrie dans l'espace

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Physiques, session de rattrapage 2024. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O, i, j, k)$ , on considère les deux points $A (1, 1, 0)$ et $Ω (- 1, 1, - 2)$ , et le plan $(P)$ d'équation $x + z - 1 = 0$ .

1.a) Vérifier que $A$ est un point du plan $(P)$ et donner un vecteur normal de $(P)$ .

1.b) Montrer que la droite $(Ω A)$ est perpendiculaire au plan $(P)$ .

2) Soit $(S)$ l'ensemble des points $M (x, y, z)$ de l'espace vérifiant : $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 2 y + 4 z - 3 = 0$ .

2.a) Montrer que $(S)$ est une sphère de centre $Ω$ et déterminer son rayon.

2.b) Montrer que le plan $(P)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle de centre $A$ , puis déterminer son rayon.

3) Soit $(Q_{m})$ le plan d'équation $x + y + m z - 2 = 0$ , où $m$ est un nombre réel.

3.a) Vérifier que $A$ appartient au plan $(Q_{m})$ pour tout réel $m$ .

3.b) Déterminer la valeur du réel $m$ pour que le plan $(Q_{m})$ soit perpendiculaire au plan $(P)$ .

3.c) Existe-t-il un plan $(Q_{m})$ qui coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle de centre $A$ ? Justifier.

Corrigé

$A (1, 1, 0)$ , $Ω (- 1, 1, - 2)$ ; plan $(P) : x + z - 1 = 0$ .

1.a) Vérifier que $A \in (P)$ et donner un vecteur normal de $(P)$ .

En remplaçant les coordonnées de $A$ dans l'équation de $(P)$ : $1 + 0 - 1 = 0$ . Donc $A \in (P)$ .

Rappel. Pour un plan d'équation $a x + b y + cz + d = 0$ , le vecteur $n (a, b, c)$ est normal au plan.

Ici $(P) : 1 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot z - 1 = 0$ , donc un vecteur normal est $n (1, 0, 1)$ .

1.b) Montrer que $(Ω A) ⊥ (P)$ .

$Ω A = (1 - (- 1), 1 - 1, 0 - (- 2)) = (2, 0, 2) = 2 n$ . Le vecteur $Ω A$ est colinéaire au vecteur normal $n$ de $(P)$ .

⇒ La droite

(Ω A)

est perpendiculaire au plan

(P)

2) $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 2 y + 4 z - 3 = 0$ .

2.a) Montrer que $(S)$ est une sphère de centre $Ω$ et donner son rayon.

Méthode. On regroupe par variable et on complète chaque carré : $x^{2} + 2 x = (x + 1)^{2} - 1$ , etc.

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