Corrigé bac maths Sciences Physiques (Maroc) 2025 session normale — Exercice 1 : Géométrie dans l'espace

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Physiques, session normale 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O, i, j, k)$ , on considère les points $A (0, 0, 2)$ , $B (2, 0, 0)$ et la sphère $(S)$ de centre $O$ et de rayon $R = 2$ .

1.a) Déterminer l'équation cartésienne de la sphère $(S)$ .

1.b) Vérifier que les points $A$ et $B$ appartiennent à la sphère $(S)$ .

2) Soit $I$ le milieu du segment $[A B]$ .

2.a) Déterminer l'intersection du plan $(O A B)$ avec la sphère $(S)$ .

2.b) Vérifier que $O I \cdot A B = 0$ puis montrer que $d (O, (A B)) = 2$ .

3) On considère un point $M (0, m, 0)$ de l'espace, où $m \in R$ .

3.a) Vérifier que $A B \land A M = 2 m i + 4 j + 2 m k$ .

3.b) En déduire que $m x + 2 y + m z - 2 m = 0$ est une équation cartésienne du plan $(A B M)$ .

3.c) Montrer que $d (O, (A B M)) = \frac{2∣ m ∣}{2 m ^{2} + 4}$ .

4) Le plan $(A B M)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle $(Γ)$ de rayon $r$ . Montrer que $r = \frac{2 m ^{2} + 4}{2 m ^{2} + 4}$ et en déduire que $2 < r \leq 2$ pour tout $m \in R$ .

Corrigé

$A (0, 0, 2)$ , $B (2, 0, 0)$ ; sphère $(S)$ de centre $O$ et de rayon $R = 2$ .

1.a) Équation cartésienne de $(S)$ . $(S)$ de centre $O (0, 0, 0)$ et rayon $2$ : $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ .

1.b) Vérifier que $A, B \in (S)$ . $A$ : $0 + 0 + 2^{2} = 4$ ✓ ; $B$ : $2^{2} + 0 + 0 = 4$ ✓.

⇒

A

B

appartiennent à

(S)

2) $I$ milieu de $[A B]$ , donc $I = (\frac{0 + 2}{2}, 0, \frac{2 + 0}{2}) = (1, 0, 1)$ .

2.a) Intersection du plan $(O A B)$ avec $(S)$ .

Les points $O, A, B$ ont tous une ordonnée nulle : le plan $(O A B)$ est le plan $(y = 0)$ . Comme il passe par le centre $O$ de la sphère, son intersection avec $(S)$ est un grand cercle.

⇒ C'est le cercle de centre

O

et de rayon

2

contenu dans le plan

(y = 0)

2.b) Vérifier $O I \cdot A B = 0$ , puis $d (O, (A B)) = 2$ .

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, partie par partie, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Corrigé complet gratuit →