Corrigé bac maths Sciences Physiques (Maroc) 2025 session de rattrapage — Exercice 2 : Géométrie dans l'espace

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les points $A(0,3,3)$, $B(1,2,1)$, $C(2,3,1)$, et le vecteur $\overrightarrow{n}(1,-1,1)$. Soit $(P)$ le plan d'équation $x-y+z-6=0$.

1.a) Montrer que $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{n}$ et en déduire que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

1.b) Montrer que les plans $(ABC)$ et $(P)$ sont parallèles.

2) Soit $(S)$ la sphère telle que le plan $(ABC)$ soit tangent à $(S)$ en $A$ et le plan $(P)$ soit tangent à $(S)$ en un point $H$.

2.a) Calculer la distance du point $A$ au plan $(P)$ et en déduire que le rayon de la sphère $(S)$ est $\sqrt{3}$.

2.b) Donner une représentation paramétrique de la droite $(\Delta )$ passant par $A$ et orthogonale au plan $(P)$.

2.c) Montrer que les coordonnées du point $H$ sont $(2,1,5)$.

2.d) Montrer que $x^2+y^2+z^2-2x-4y-8z+18=0$ est une équation cartésienne de la sphère $(S)$.

3) Déterminer les deux points d'intersection de la droite $(BH)$ avec la sphère $(S)$.