Corrigé bac physique-chimie 2025 Métropole jour 2 — Exercice 1 : Mesure de l'épaisseur d'un film alimentaire

1. Mesure par capacimétrie

Q1. Le circuit de la figure 2 est une maille unique, orientée dans le sens du courant $i$ (convention récepteur pour $R$ et $C$). D'après la loi des mailles, après fermeture de l'interrupteur :

$$E=u_R+u_C.$$

La loi d'Ohm donne $u_R=Ri$, et la relation entre l'intensité et la charge $q=C{u}_C$ de l'armature positive du condensateur s'écrit

$$i=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=C\frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}(C\text{ constante}).$$

En reportant : $E=RC\frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}+u_C$. En divisant les deux membres par $RC$ (non nul) :

$$\frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{RC}{u}_C=\frac{E}{RC}.$$

Par identification avec l'équation de l'énoncé, le temps caractéristique (constante de temps) du circuit est

$$\tau =RC.$$

Il est bien homogène à un temps : $[R][C]=\mathrm{V}\cdot {\mathrm{A}}^{-1}\times \mathrm{A}\cdot \mathrm{s}\cdot {\mathrm{V}}^{-1}=\mathrm{s}$.

Q2. On reporte la solution proposée dans l'équation différentielle. Sa dérivée vaut $\frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}=\frac{A}{\tau }{\mathrm{e}}^{-t/\tau }$, donc

$$\frac{A}{\tau }{\mathrm{e}}^{-t/\tau }+\frac{A}{\tau }\left(1-{\mathrm{e}}^{-t/\tau }\right)=\frac{A}{\tau }=\frac{E}{\tau }⟹A=E.$$

On le retrouve physiquement : lorsque $t\to +\infty$, ${\mathrm{e}}^{-t/\tau }\to 0$ et $u_C\to A$ ; or en régime permanent le courant est nul, $u_R=0$ et $u_C=E$ : le condensateur est chargé sous la tension du générateur. La condition initiale $u_C(0)=A(1-1)=0$ est bien celle d'un condensateur initialement déchargé (continuité de $u_C$). Ainsi $u_C(t)=E\left(1-{\mathrm{e}}^{-t/\tau }\right)$, la loi de charge du chapitre.

Q3. À $t=\tau$ :

$$u_C(\tau )=E\left(1-{\mathrm{e}}^{-1}\right)=0,63E.$$

Au bout d'une constante de temps, le condensateur a atteint $63\%$ de sa tension finale (valeur remarquable du cours).

Q4. Démarche (méthode des 63 %). Sur la figure 3, la tension tend vers l'asymptote $E=4,9\mathrm{V}$. D'après Q3, $u_C(\tau )=0,63\times 4,9=3,1\mathrm{V}$. On trace la droite horizontale $u_C=3,1\mathrm{V}$ ; elle coupe la courbe en un point dont l'abscisse est $\tau$. On lit

$$\tau \approx 70\mu \mathrm{s}$$

(la lecture, faite au carreau près sur une grille de $10\mu \mathrm{s}$, donne entre $65$ et $70\mu \mathrm{s}$). On peut contrôler ce résultat par la méthode de la tangente à l'origine : la tangente en $t=0$, de pente $E/\tau$, coupe l'asymptote $u_C=E$ à l'abscisse $t=\tau$ ; elle passe par l'origine et par le point $(70\mu \mathrm{s};4,9\mathrm{V})$, ce qui est cohérent avec l'allure de la courbe (à $t=20\mu \mathrm{s}$, la tangente donne $1,4\mathrm{V}$ et la courbe $1,3\mathrm{V}$). On vérifie aussi que le régime permanent est atteint vers $5\tau \approx 350\mu \mathrm{s}$, comme sur la figure.

Q5. De $\tau =RC$ on tire

$$C=\frac{\tau }{R}=\frac{70\times 10^{-6}}{1,00\times 10^3}=7,0\times 10^{-8}\mathrm{F}=70\mathrm{nF}.$$

Cette valeur expérimentale est cohérente avec la valeur moyenne $69,8\mathrm{nF}$ annoncée ensuite. Ce que le correcteur attend : $\tau$ converti en secondes et $R$ en ohms avant le calcul ; une lecture $\tau =65\mu \mathrm{s}$ donnerait $C=65\mathrm{nF}$, également acceptable.

Q6. Le condensateur est un condensateur plan dont l'isolant est le film (${\epsilon }_r={\epsilon }_{r,\text{film}}$, $e=e_{\text{film}}$). En isolant l'épaisseur dans $C=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r,\text{film}}S}{e_{\text{film}}}$ :

$$e_{\text{film}}=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r,\text{film}}S}{C},S=0,21\times 0,28=5,88\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^2,$$

$$e_{\text{film}}=\frac{8,85\times 10^{-12}\times 2,3\times 5,88\times 10^{-2}}{69,8\times 10^{-9}}=1,7\times 10^{-5}\mathrm{m}=17\mu \mathrm{m}.$$

Homogénéité : $\mathrm{F}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}\cdot {\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{F}}^{-1}=\mathrm{m}$. Ce que le correcteur attend : la surface en ${\mathrm{m}}^2$ ($21\mathrm{cm}\times 28\mathrm{cm}=588\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=5,88\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^2$) et la capacité en farads.

Q7. On calcule le quotient proposé dans les données, avec $x=e_{\text{film}}=17,1\mu \mathrm{m}$ (valeur non arrondie $17,15\mu \mathrm{m}$), $x_{\text{ref}}=7,6\mu \mathrm{m}$ et $u(x)=1,0\mu \mathrm{m}$ :

$$\frac{|e_{\text{film}}-e_{\text{film,ref}}|}{u(e_{\text{film}})}=\frac{|17,1-7,6|}{1,0}=9,5.$$

Ce quotient est très supérieur à $2$ : l'écart entre la valeur mesurée et la valeur de référence vaut près de dix fois l'incertitude-type. Le résultat de la capacimétrie n'est pas en accord avec l'épaisseur de référence : la méthode surestime l'épaisseur d'un facteur supérieur à $2$, ce qui révèle un défaut du modèle (un isolant constitué du seul film) plutôt qu'une dispersion aléatoire des mesures.

Q8. Premier cas limite : pas de couche d'air, $e_{\text{air}}=0$. Alors

$$C^{\prime }=\frac{{\epsilon }_{0}S}{0+\frac{e_{\text{film}}}{{\epsilon }_{r,\text{film}}}}=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r,\text{film}}S}{e_{\text{film}}},$$

qui est l'expression de la capacité d'un condensateur plan dont l'isolant est le film seul.

Second cas limite : pas de film, $e_{\text{film}}=0$. Alors

$$C^{\prime }=\frac{{\epsilon }_{0}S}{\frac{e_{\text{air}}}{{\epsilon }_{r,\text{air}}}+0}=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r,\text{air}}S}{e_{\text{air}}},$$

capacité d'un condensateur plan à isolant d'air d'épaisseur $e_{\text{air}}$. Dans les deux cas limites on retrouve l'expression des données : l'expression de $C^{\prime }$ est compatible avec elle. (On peut ajouter que $C^{\prime }$ est la capacité équivalente de deux condensateurs plans en série, l'un à air, l'autre à film : $\frac{1}{C^{\prime }}=\frac{1}{C_{\text{air}}}+\frac{1}{C_{\text{film}}}$.)

Q9. On identifie la capacité mesurée à $C^{\prime }=69,8\mathrm{nF}$ et on isole $e_{\text{air}}$ :

$$\frac{e_{\text{air}}}{{\epsilon }_{r,\text{air}}}+\frac{e_{\text{film}}}{{\epsilon }_{r,\text{film}}}=\frac{{\epsilon }_{0}S}{C^{\prime }}⟹e_{\text{air}}={\epsilon }_{r,\text{air}}\left(\frac{{\epsilon }_{0}S}{C^{\prime }}-\frac{e_{\text{film,ref}}}{{\epsilon }_{r,\text{film}}}\right).$$

Numériquement, $\frac{{\epsilon }_{0}S}{C^{\prime }}=\frac{8,85\times 10^{-12}\times 5,88\times 10^{-2}}{69,8\times 10^{-9}}=7,46\times 10^{-6}\mathrm{m}$ et $\frac{e_{\text{film,ref}}}{{\epsilon }_{r,\text{film}}}=\frac{7,6\times 10^{-6}}{2,3}=3,30\times 10^{-6}\mathrm{m}$, donc

$$e_{\text{air}}=1,0\times \left(7,46\times 10^{-6}-3,30\times 10^{-6}\right)=4,2\times 10^{-6}\mathrm{m}=4,2\mu \mathrm{m}.$$

Commentaire. Une lame d'air de $4\mu \mathrm{m}$, soit un peu plus de la moitié de l'épaisseur du film, suffit à expliquer l'écart : les feuilles d'aluminium et le film ne sont pas parfaitement plans ni parfaitement plaqués l'un contre l'autre (plis, poussières), et l'air, de permittivité relative plus faible que celle du film, « compte » $2,3$ fois plus qu'une même épaisseur de film ($4,15\times 2,3\approx 9,5\mu \mathrm{m}$, ce qui est exactement l'écart $17,1-7,6=9,5\mu \mathrm{m}$ trouvé en Q7). La capacimétrie, très sensible à cette lame d'air, n'est donc pas adaptée à une mesure précise de l'épaisseur du film, sauf à presser fortement les armatures.

2. Mesure par pesée

Q10. Le film déroulé est un parallélépipède de longueur $L$, de largeur $\ell$ et d'épaisseur $e_{\text{film}}$, de volume $V_{\text{film}}=\ell L{e}_{\text{film}}$. La masse volumique s'écrit ${\rho }_{\text{film}}=\frac{m_{\text{film}}}{V_{\text{film}}}$, d'où

$$e_{\text{film}}=\frac{m_{\text{film}}}{{\rho }_{\text{film}}\ell L}=\frac{70,56\times 10^{-3}}{1,25\times 10^3\times 0,29\times 30}=6,5\times 10^{-6}\mathrm{m}=6,5\mu \mathrm{m}.$$

Ordre de grandeur cohérent avec la valeur de référence $7,6\mu \mathrm{m}$ (écart de $15\%$), mais les dimensions de l'emballage sont nominales (longueur réellement enroulée, largeur) et une partie de la masse pesée peut ne pas être du film : c'est bien une estimation. Ce que le correcteur attend : masse en kg, largeur en m, résultat en $\mu \mathrm{m}$.

3. Mesure par interférométrie

Q11. Les deux ondes issues du même rayon incident sont cohérentes. Les interférences sont constructives (intensité maximale) lorsque les deux ondes arrivent en phase, c'est-à-dire lorsque la différence de chemin optique est un multiple entier de la longueur d'onde :

$$\delta =k\lambda ,k\in \mathbb{Z}.$$

(Elles sont destructives pour $\delta =\left(k+\frac{1}{2}\right)\lambda$.)

Q12. Par définition $p=\frac{\delta }{\lambda }$, donc $\delta =p\lambda$. Si $\frac{\beta e_{\text{film}}}{\lambda }$ est un entier $k$, la relation 1 donne $p=k+\frac{1}{2}$ : l'ordre d'interférence est demi-entier, soit $\delta =\left(k+\frac{1}{2}\right)\lambda$. Les deux ondes arrivent en opposition de phase et se compensent : on observe des interférences destructives, c'est-à-dire un minimum d'intensité pour cette longueur d'onde. Ce que le correcteur attend : ne pas confondre « rapport entier » et « ordre entier » : le $\frac{1}{2}$ de la relation 1 (qui traduit le déphasage introduit par la réflexion sur la face supérieure du film) décale la condition.

Q13. La lumière incidente (figure 6a) a un spectre continu et régulier. Après passage sur le film, pour chaque longueur d'onde $\lambda$ de la lumière blanche, les rayons (1) et (2) interfèrent avec une différence de chemin optique $\delta$ fixée par l'épaisseur du film (relation 1). Les longueurs d'onde pour lesquelles l'ordre $p=\frac{\beta e_{\text{film}}}{\lambda }+\frac{1}{2}$ est entier donnent des interférences constructives : leur intensité est renforcée, ce sont les maxima entourés. Entre deux maxima, les longueurs d'onde d'ordre demi-entier donnent des interférences destructives (minima). Le spectre 6b est donc le spectre 6a modulé par les interférences dans la lame mince : c'est le même phénomène qui colore les bulles de savon ou les taches d'huile. Les maxima, régulièrement espacés en $1/\lambda$ (ordres consécutifs $p$, $p+1$, …), permettent de mesurer l'épaisseur.

Q14. La relation 1 prévoit que $p$ est une fonction affine de $\frac{1}{\lambda }$, de coefficient directeur $\beta e_{\text{film}}$ et d'ordonnée à l'origine $\frac{1}{2}$. Sur la figure 7, les six points expérimentaux (ordres $32$ à $37$) sont alignés et modélisés par la droite $p=22443\times \frac{1}{\lambda }+0,51$ ($\lambda$ en nm). L'ordonnée à l'origine $0,51$ est bien voisine de $\frac{1}{2}=0,50$ (écart de $2\%$), et le coefficient directeur, positif, s'identifie à $\beta e_{\text{film}}$. On vérifie par exemple que pour $\frac{1}{\lambda }=1,626\times 10^{-3}\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}$ ($\lambda =615\mathrm{nm}$), le modèle donne $22443\times 1,626\times 10^{-3}+0,51=37,0$, l'ordre lu. Les résultats expérimentaux sont donc cohérents avec la relation 1.

Q15. Par identification du coefficient directeur : $\beta e_{\text{film}}=22443\mathrm{nm}$ (le produit $p\lambda$ est une longueur, exprimée en nm puisque $\lambda$ l'est). Avec $\beta =3,02$ :

$$e_{\text{film}}=\frac{22443}{3,02}=7,43\times 10^3\mathrm{nm}=7,4\mu \mathrm{m}.$$

Commentaire. Cette valeur est très proche de l'épaisseur de référence $7,6\mu \mathrm{m}$ (écart relatif de $2\%$), bien meilleure que les $17\mu \mathrm{m}$ de la capacimétrie (faussée par la lame d'air) et que les $6,5\mu \mathrm{m}$ de la pesée (dimensions nominales). L'interférométrie, qui n'exige aucun contact et exploite une longueur d'onde comme étalon, est la méthode la plus exacte des trois pour mesurer l'épaisseur d'un film de quelques micromètres ; le faible écart résiduel peut provenir de l'incertitude sur $\beta$ (indice du film, angle d'incidence) et de la pente de la modélisation. Ce que le correcteur attend : une conversion $\mathrm{nm}\to \mu \mathrm{m}$ correcte ($7432\mathrm{nm}=7,432\mu \mathrm{m}$) et une comparaison explicite des trois méthodes.