Corrigé bac physique-chimie 2025 — Exercice 1 : Autour de la glace

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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EXERCICE 1 - AUTOUR DE LA GLACE (9 POINTS)

L'objectif de cet exercice est de dater des couches de glace en Arctique par la méthode au plomb-210 puis de quantifier les ions argent présents dans les précipitations provoquées par ensemencement à l'iodure d'argent dans d'autres régions du monde.

1. Datation au plomb-210 d'une carotte de glace en Arctique.

La fonte progressive des glaciers met en péril l'approvisionnement en eau de nombreuses régions du globe et met à nu des couches de glace de plus en plus anciennes. Leur ancienneté peut être déterminée par radiodatation au plomb-210. C'est une méthode utilisée pour des échantillons dont l'âge estimé est inférieur à 150 ans. Dans l'atmosphère, le plomb-210 est issu de la désintégration du radon-222. Certaines méthodes datent au plomb-210 utilisent le rayonnement $α$ issu du polonium-210, dernier noyau radioactif de la chaîne de désintégrations.

Données :

la désintégration $β^{-}$ s'accompagne de l'émission d'un électron $X_{- 1}^{0} X_{2 - 1}^{20} e$ ;
la désintégration $α$ s'accompagne de l'émission d'un noyau d'hélium $X_{2}^{4} X_{22}^{24} He$ .

Q1. À l'aide du diagramme (Z,N) de la figure 1, déterminer le type de désintégration que subit le plomb-210.

Q2. À l'aide de la figure 1 et des lois de conservation, établir l'équation modélisant la désintégration radioactive du plomb-210 amenant à la formation du bismuth-210.

Le bismuth-210 subit ensuite une désintégration $β^{-}$ pour former le polonium-210. Ce dernier, également instable, se désintègre à son tour.

Q3. À l'aide du diagramme (Z,N) de la figure 1, indiquer le noyau formé à l'issue de la désintégration du polonium-210. Justifier que le polonium-210 est le « dernier noyau radioactif » de la chaîne de désintégration du plomb-210.

L'activité d'un échantillon de noyaux radioactifs est le nombre de désintégrations radioactives par unité de temps dans cet échantillon.

Q4. Donner la relation entre l'activité $A (t)$ d'un échantillon et la dérivée temporelle du nombre de noyaux radioactifs $N (t)$ dans l'échantillon.

L'activité $A (t)$ d'un échantillon radioactif est proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs présents $N (t)$ . On écrit $A (t) = λ \times N (t)$ où $λ$ constante de proportionnalité est nommée constante radioactive et ne dépend que du type de noyaux radioactifs de l'échantillon.

Q5. Établir l'équation différentielle régissant la population de noyaux radioactifs $N (t)$ sous la forme $\frac{d N ( t )}{d t} + λ \cdot N (t) = 0$ .

Q6. Vérifier que $N (t) = N_{0} \cdot e^{- λ \cdot t}$ est solution de l'équation différentielle précédente, avec $N_{0}$ le nombre de noyaux radioactifs initialement présents dans l'échantillon.

Données :

demi-vies $t_{1/2}$ de différents noyaux radioactifs :

Noyau radioactif	Plomb-210 $X_{210} X_{2}^{2210} Pb$	Bismuth-210 $X_{210} X_{2}^{2210} Bi$	Polonium-210 $X_{210} X_{2}^{2210} Po$
Demi-vie $t_{1/2}$	22,2 ans	5,0 jours	138 jours

Q7. Démontrer que le temps de demi-vie $t_{1/2}$ est relié à la constante radioactive $λ$ par $t_{1/2} = \frac{ln ( 2 )}{λ}$ . Calculer la constante radioactive $λ_{P b}$ du plomb-210.

Dans la question suivante, le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.

En 1993, des chercheurs de l'université de Yamagata au Japon ont daté les différentes couches d'une carotte de glace dans l'archipel norvégien de Svalbard à l'aide de cette méthode au plomb-210. À une profondeur de 30 m, une masse de 1 kg de glace avait une activité $A_{30}$ = 4,72 mBq liée au plomb 210. On suppose que l'activité d'un kilogramme de glace liée au plomb-210 valait $A_{0}$ = 110 mBq à sa formation.

Q8. Déterminer l'année à laquelle la glace présente à 30 m de profondeur s'est formée. En déduire l'épaisseur moyenne de glace accumulée chaque année sur l'archipel durant cette période.

2. Contrôle de la grêle par ensemencement à l'iodure d'argent.

Les tempêtes de grêle peuvent causer des dommages d'autant plus importants que les grêlons sont gros. En pulvérisant de l'iodure d'argent dans les nuages, on cherche à favoriser la formation d'un nombre plus important de grêlons de plus petite taille moindre.

L'ensemencement des nuages est une méthode de contrôle météorologique appliquée pour la première fois en 1946. Elle est utilisée partout dans le monde, avec comme objectif la dispersion du brouillard ou encore la lutte contre la désertification.

Cette technologie apporte des ions argent $Ag X^{+}$ dans l'environnement, d'où l'importance de quantifier. Le département de chimie de l'université de Al-Qadisiyah en Irak a développé une méthode spectrophotométrique permettant de déterminer la quantité d'ions argent présents dans un échantillon. Elle repose sur la réaction des ions $Ag X^{+}$ (aq) avec la molécule 6-(4BrPAA) appelée « ligand », selon la réaction chimique modélisée par l'équation suivante : $Ag X^{+} (aq) + ligand (aq) Ag (ligand) X^{+} (aq) (1)$

La structure de la molécule constituant le ligand est représentée figure 2 :

Q9. Nommer le type de représentation utilisé pour la molécule de ligand représentée sur la figure 2.

Q10. Nommer les deux familles fonctionnelles correspondant aux groupes caractéristiques A et B entourés sur la figure 2.

Donnée :

on définit la concentration standard $c^{\circ}$ = 1 mol·L $^{- 1}$ .

Q11. Écrire la constante d'équilibre $K$ de la réaction de formation de Ag(ligand) $^{+}$ (aq) en fonction des concentrations à l'équilibre des différentes espèces et de la concentration standard $c^{\circ}$ .

Q12. Justifier que la réaction de formation de Ag(ligand) $^{+}$ (aq) est quasi-totale si le ligand est en très fort excès.

Les solutions aqueuses contenant l'espèce chimique Ag(ligand) $^{+}$ (aq) sont colorées, ce qui permet d'utiliser une méthode de dosage spectrophotométrique en étudiant l'absorbance de la solution. L'espèce chimique Ag(ligand) $^{+}$ (aq) possède un pic d'absorbance pour une longueur d'onde $λ_{ma x}$ = 516 nm. On donne le cercle chromatique sur la figure 3.

Q13. En vous aidant de la figure 3, déterminer la couleur des solutions aqueuses contenant l'espèce chimique Ag(ligand) $^{+}$ (aq).

On mélange un volume $V_{A g^{+}}$ = 1,0 mL d'une solution de concentration d'ion argent $[Ag X^{+}]$ = 7,4×10 $^{- 6}$ mol·L $^{- 1}$ avec un volume $V_{L}$ de solution de ligand à la concentration $c_{L}$ = 1,0×10 $^{- 3}$ mol·L $^{- 1}$ .

Q14. Calculer la quantité de matière en ions argent $n_{A g^{+}}$ initialement introduite dans la solution.

On mesure l'absorbance des différentes solutions obtenues, à la longueur d'onde $λ_{ma x}$ = 516 nm. Les résultats obtenus sont reportés dans la figure 4.

On constate qu'à partir d'un certain volume introduit, la quantité de Ag(ligand) $^{+}$ (aq) n'évolue plus, ce qui signifie que pratiquement tous les ions argent $Ag X^{+}$ (aq) ont réagi avec le ligand.

Q15. À l'aide de la figure 4, déterminer le volume $V_{t o t, L}$ de solution de ligand versé pour que l'ensemble des ions argent $Ag X^{+}$ (aq) présents aient réagi en quasi-totalité. Calculer la quantité de matière de ligand $n_{L}$ à introduire.

Q16. Vérifier que le ligand est bien en large excès par rapport aux ions $Ag X^{+}$ (aq) initialement introduits. Commenter ce résultat.

Q17. En supposant la réaction totale et en utilisant la loi de Beer-Lambert, montrer que l'absorbance de la solution de l'espèce chimique Ag(ligand) $^{+}$ (aq) est proportionnelle à la concentration en quantité de matière en ions argent initialement en solution $c_{A g^{+}}$ . On pourra éventuellement s'aider d'un tableau d'avancement.

Les chercheurs de l'université de Al-Qadisiyah ont indiqué que pour des concentrations en masse d'ions argent comprises entre $c_{m, min}$ = 9×10 $^{- 3}$ µg·mL $^{- 1}$ et $c_{m, ma x}$ = 1,5 µg·mL $^{- 1}$ , l'absorbance $A$ de la solution de l'espèce chimique Ag(ligand) $^{+}$ (aq) est reliée à la concentration en quantité de matière $c$ (en mol·L $^{- 1}$ ) en ions argent par : $A = 6, 5 \times 1 0^{4} \times c$ .

Données :

masse molaire atomique de l'argent : $M (Ag)$ = 108 g·mol $^{- 1}$ ;
valeur limite de mesure du spectrophotomètre à $λ$ = 516 nm : $A_{ma x}$ = 0,9.

Q18. Vérifier que la valeur maximale de la concentration en masse en ions argent, $c_{m, ma x}$ , indiquée par les chercheurs est cohérente avec une limite expérimentale de la loi de Beer-Lambert.

Corrigé

1. Datation au plomb-210 d'une carotte de glace en Arctique.

Q1. Le plomb 210 est dans une case gris clair, donc il subit une désintégration $β^{-}$ .

Q2. $X_{82}^{210} X_{282}^{2210} Pb X_{83}^{210} X_{283}^{2210} Bi + X_{Z}^{A} X_{2 Z}^{2 A} X$ Loi de conservation de la charge électrique : $82 = 83 + Z$ donc $Z = - 1$ . Loi de conservation du nombre de nucléons : $210 = 210 + A$ donc $A = 0$ . La particule formée est un électron $X_{- 1}^{0} X_{2 - 1}^{20} e$ : $X_{82}^{210} X_{282}^{2210} Pb X_{83}^{210} X_{283}^{2210} Bi + X_{- 1}^{0} X_{2 - 1}^{20} e$ , ce qui correspond à la réponse précédente.

Q3. $X_{84}^{210} X_{284}^{2210} Po X_{2}^{4} X_{22}^{24} He + X_{82}^{206} X_{282}^{2206} Pb$ Il se forme un noyau de plomb 206 qui est un noyau stable, ainsi la chaîne de désintégration s'arrête.

Q4. L'activité $A (t)$ d'un échantillon de noyaux radioactifs est le nombre de désintégrations radioactives par unité de temps dans cet échantillon : $A (t) = - \frac{d N ( t )}{d t}$

Q5. $A (t) = - \frac{d N ( t )}{d t} et A (t) = λ \cdot N (t)$ $- \frac{d N ( t )}{d t} = λ \cdot N (t)$ $\frac{d N ( t )}{d t} + λ \cdot N (t) = 0$

Q6. Dans l'équation différentielle, on remplace $N (t)$ par la solution proposée et on vérifie que cela conduit à zéro : $\frac{d ( N _{0} \cdot e ^{- λ t} )}{d t} + λ \cdot N_{0} \cdot e^{- λ t} = - λ \cdot N_{0} \cdot e^{- λ t} + λ \cdot N_{0} \cdot e^{- λ t} = 0$

Q7. $N (t) = N_{0} \cdot e^{- λ t}$ $N (t_{1/2}) = \frac{N _{0}}{2} = N_{0} \cdot e^{- λ t_{1/2}}$ $\frac{1}{2} = e^{- λ t_{1/2}}$ $ln (\frac{1}{2}) = - λ \cdot t_{1/2}$ $ln (1) - ln (2) = - λ \cdot t_{1/2}$ $λ \cdot t_{1/2} = ln (2)$ $t_{1/2} = \frac{ln ( 2 )}{λ} donc λ = \frac{ln ( 2 )}{t _{1/2}}$ $λ_{P b} = \frac{ln ( 2 )}{22 , 2 an} = 3, 12 \times 1 0^{- 2} an^{- 1}$

Q8. $N (t) = N_{0} \cdot e^{- λ t}$ $A (t) = - \frac{d N ( t )}{d t} = - (- λ \cdot N_{0} \cdot e^{- λ t}) = λ \cdot N_{0} \cdot e^{- λ t}$ $A (t) = A_{0} \cdot e^{- λ t}$ À la profondeur de 30 m : $A_{30} = A_{0} \cdot e^{- λ t}$ $\frac{A _{30}}{A _{0}} = e^{- λ t}$ $ln (\frac{A _{30}}{A _{0}}) = - λ \cdot t$ $t = \frac{ln ( \frac{A _{30}}{A _{0}} )}{- λ} = \frac{ln ( \frac{4 , 72 mBq}{110 mBq} )}{- 3 , 12 \times 1 0 ^{- 2} an ^{- 1}} = 101 ans$ Les mesures ont été faites en 1993, la glace s'est formée 101 ans avant donc en 1993 − 101 = 1892. La glace sous glace une épaisseur de 30 m, et cela correspond à 101 ans d'accumulation de glace. Ainsi chaque année en moyenne il se forme une épaisseur de 30 m / 101 ans = 0,30 m. $e \approx 0, 30 m/an$

2. Contrôle de la grêle par ensemencement à l'iodure d'argent.

Q9. La figure 2 montre une formule topologique.

Q10. Le groupe A est un groupe bromo du la famille des composés halogénés, et le groupe B est un groupe amino de la famille des amines.

Q11. $Q_{r, e q} = K = \frac{\frac{[ Ag ( ligand ) X ^{+} ( aq ) ] _{e q}}{c ^{\circ}}}{\frac{[ Ag X ^{+} ( aq ) ] _{e q}}{c ^{\circ}} \cdot \frac{[ ligand ( aq ) ] _{e q}}{c ^{\circ}}} = \frac{[ Ag ( ligand ) X ^{+} ( aq ) ] _{e q} \cdot c ^{\circ}}{[ Ag X ^{+} ( aq ) ] _{e q} \cdot [ ligand ( aq ) ] _{e q}}$

Q12. Si le ligand est en très fort excès alors la concentration [ligand(aq)] est très grande. Or $Q_{r} = \frac{[ Ag ( ligand ) X ^{+} ( aq ) ] \cdot c ^{\circ}}{[ Ag X ^{+} ( aq ) ] \cdot [ ligand ( aq ) ]}$ donc le quotient de réaction sera très petit et sans doute inférieur à la constante d'équilibre $K$ de la réaction. La réaction a lieu dans le sens direct de consommation des réactifs. Par ailleurs, on sait que l'ajout d'un réactif en excès permet d'augmenter le taux d'avancement. La réaction étant déjà avancée, on tend vers un taux d'avancement final égal à 100 %.

Q13. Ag(ligand) $^{+}$ (aq) absorbe fortement les radiations de couleurs comprises entre le cyan et le vert ( $λ$ = 516 nm), alors Ag(ligand) $^{+}$ (aq) apparaît de la couleur complémentaire diamétralement opposée sur le cercle chromatique de la figure 3. Ag(ligand) $^{+}$ (aq) apparaît entre rouge et magenta donc une couleur un peu rouge/bordeaux.

Q14. $n_{A g^{+}} = [Ag X^{+}] \cdot V_{A g^{+}}$ $n_{A g^{+}} = 7, 4 \times 1 0^{- 6} \times 1, 0 \times 1 0^{- 3} = 7, 4 \times 1 0^{- 9} mol = 7, 4 nmol$

Q15. $V_{t o t, L}$ = 0,5 mL $n_{L} = c_{L} \cdot V_{t o t, L}$ $n_{L} = 1, 0 \times 1 0^{- 3} \times 0, 5 \times 1 0^{- 3} = 5 \times 1 0^{- 7} mol$

Q16. $n_{L}$ = 5×10 $^{- 7}$ mol et $n_{A g^{+}}$ = 7,4×10 $^{- 9}$ mol. L'équation de la réaction est $Ag X^{+} (aq) + ligand (aq) Ag (ligand) X^{+} (aq)$ . Comme $\frac{n _{L}}{1} > \frac{n _{A g^{+}}}{1}$ donc le ligand est bien en excès. On avait besoin seulement de 7,4×10 $^{- 9}$ mol de ligand, on en a mis $\frac{5 \times 1 0 ^{- 7}}{7 , 4 \times 1 0 ^{- 9}} \approx 7 \times 1 0^{1}$ fois plus que nécessaire.

Q17. Tableau d'avancement (réaction totale) :

équation chimique	$Ag X^{+}$	+ ligand(aq)	Ag(ligand) $^{+}$
État initial (avancement 0)	$n_{A g^{+}}$ = 7,4×10 $^{- 9}$	$n_{L}$ = 5×10 $^{- 7}$	0
En cours (avancement $x$ )	$n_{A g^{+}} - x$	$5 \times 1 0^{- 7} - x$	$x$
État final ( $x_{ma x}$ )	7,4×10 $^{- 9}$ − $x_{ma x}$ = 0	5×10 $^{- 7}$ − $x_{ma x}$ > 0	$n (Ag (ligand) X^{+}) = x_{ma x} = n_{A g^{+}}$

$Ag X^{+}$ conduit au plus défaut donc avancement maximal, on a $x_{ma x} = n_{A g^{+}}$ = 7,4×10 $^{- 9}$ mol. Loi de Beer-Lambert : $A = k \cdot [Ag (ligand) X^{+} (aq)]$ $A = k \cdot \frac{n ( Ag ( ligand ) X ^{+} ( aq ) )}{V _{L} + V _{A g^{+}}}$ Or d'après le tableau d'avancement $n (Ag (ligand) X^{+} (aq)) = n_{A g^{+}}$ , donc : $A = k \cdot \frac{n _{A g^{+}}}{V _{L} + V _{A g^{+}}} = k \cdot \frac{c _{A g^{+}} \cdot V _{A g^{+}}}{V _{L} + V _{A g^{+}}}$ L'absorbance est bien proportionnelle à $c_{A g^{+}}$ .

Q18. $c_{m, ma x} = 6, 5 \times 1 0^{4} \times c$ , donc $A_{ma x} = 6, 5 \times 1 0^{4} \times c_{ma x}$ . $c_{m, ma x} = c_{ma x} \cdot M (Ag) donc c_{ma x} = \frac{c _{m, ma x}}{M ( Ag )}$ $A_{ma x} = 6, 5 \times 1 0^{4} \times \frac{c _{m, ma x}}{M ( Ag )}$ $c_{m, ma x} = \frac{A _{ma x} \cdot M ( Ag )}{6 , 5 \times 1 0 ^{4}}$ $c_{m, ma x} = \frac{0 , 9 \times 108 g\cdotmol ^{- 1}}{6 , 5 \times 1 0 ^{4} L\cdotmol ^{- 1}} = 1, 5 \times 1 0^{- 3} \frac{g}{L} = 1, 5 \times 1 0^{- 3} \times \frac{1 0 ^{6}}{1 0 ^{3}} \frac{µg}{mL} = 1, 5 µg\cdotmL^{- 1}$ Cette valeur est cohérente avec celle indiquée par les chercheurs ( $c_{m, ma x}$ = 1,5 µg·mL $^{- 1}$ ).

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