Corrigé bac physique-chimie 2025 — Exercice 2 : Des écoulements sanguins

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Travailler ce sujet sur Adloun Sujet officiel (PDF) Corrigé complet (PDF)

Énoncé

(Nouvelle-Calédonie, Jour 1 — 5 points)

Le but de cet exercice est d'étudier deux situations d'écoulement du sang dans le système veineux constitué d'artères, de veines et de capillaires.

La sténose aortique est une pathologie cardiaque consistant en un rétrécissement du diamètre de la valve aortique. Celle-ci se trouve entre le ventricule gauche du cœur et le principal vaisseau du corps humain, l'aorte.

Par ailleurs, la communication entre artère et veine se fait par un réseau de plusieurs millions de capillaires.

Partie A — Mise en évidence d'une sténose aortique

Données :

Relation de Bernoulli : elle est valable pour un fluide parfait (sans viscosité) et incompressible, en écoulement permanent (indépendant du temps). On considère que le fluide n'est soumis qu'aux forces de pression et de pesanteur.

D'après cette relation, pour deux points A et B situés le long d'une même ligne de courant (voir figure 1) :

$P_{A} + ρ \times g \times z_{A} + \frac{1}{2} \times ρ \times v_{A}^{2} = P_{B} + ρ \times g \times z_{B} + \frac{1}{2} \times ρ \times v_{B}^{2}$

$P$ désigne la pression en un point et s'exprime en pascals (Pa), $ρ$ est la masse volumique du fluide en $kg \cdot m^{- 3}$ , $g$ est l'intensité de la pesanteur en $N \cdot k g^{- 1}$ et $z$ représente l'altitude du point considéré et s'exprime en mètres (m).

$1 mmHg$ correspond à la différence de pression entre deux points situés dans une colonne de mercure immobile et séparés d'une altitude de $1$ millimètre.
En statique des fluides, dans la relation de Bernoulli : $v_{A} = v_{B} = 0, 00 m \cdot s^{- 1}$ .
Masse volumique du sang : $ρ (s an g) = 1, 05 \times 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ .
Masse volumique du mercure : $ρ (H g) = 13, 6 \times 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ .
Intensité de la pesanteur terrestre : $g = 9, 81 N \cdot k g^{- 1}$ .

Pour modéliser la situation d'une sténose aortique, on considère que la valve aortique est une succession de cylindres de diamètres $d_{A}$ et $d_{B}$ comme représentée figure 2. On supposera ici que le sang est un fluide parfait en écoulement horizontal permanent.

1. À l'aide de la relation de Bernoulli appliquée à la statique des fluides, montrer que $1, 00 mmHg$ correspond à une différence de pression de $133 Pa$ .

Un rétrécissement aortique serré est défini par :

une vitesse maximale du sang de valeur supérieure à $4 m \cdot s^{- 1}$ en sortie de valve aortique ;
une différence de pression supérieure à $50 mmHg$ à travers la valve aortique (selon les recommandations européennes) ;
et une surface de la section de la valve aortique au niveau du rétrécissement (point B) inférieure à $1 c m^{2}$ .

Lors d'un examen auprès d'un patient susceptible de présenter un rétrécissement aortique, on mesure, par échographie Doppler, les valeurs des vitesses de l'écoulement du sang aux points A et B situés sur une même ligne de courant. On obtient :

$v_{A} = 1, 0 m \cdot s^{- 1} et v_{B} = 4, 2 m \cdot s^{- 1} .$

2. Déterminer la différence de pression $P_{A} - P_{B}$ en pascals, puis en mmHg.

Afin de déterminer la surface de la section de la valve aortique au niveau du rétrécissement (point B), on mesure par échographie le diamètre $d_{A}$ à l'entrée de la valve aortique. Pour le patient précédent, on obtient : $d_{A} = 20, 2 mm$ .

3. Justifier, à l'aide des résultats et des données précédentes, que le patient analysé a un rétrécissement aortique serré.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie même si elle n'a pas abouti : la démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.

Partie B — Écoulement de Poiseuille

Le sang est un fluide réel et, dans divers cas, sa viscosité n'est pas négligeable.

Pour qu'un fluide réel s'écoule entre deux points, une différence de pression doit s'appliquer entre ces points.

Dans le cas d'un écoulement de Poiseuille dans une conduite cylindrique horizontale de longueur $L$ et de diamètre $d$ , la différence de pression $Δ P$ est proportionnelle au débit volumique $D_{v}$ du fluide dans la conduite :

$∣Δ P ∣ = R \times D_{v} avec R = \frac{64 \times L \times η}{π \times d ^{4}}$

$η$ est la viscosité du fluide, $R$ la résistance à l'écoulement de la conduite et $∣Δ P ∣$ est la valeur absolue de la variation de pression $Δ P$ .

On considère la situation simplifiée de la figure 3 ci-contre.

Du sang parcourt une artère, se divise dans un réseau de plusieurs millions de capillaires, supposés identiques et situés à une altitude voisine, puis rejoint une veine.

On considérera que la résistance à l'écoulement du sang est uniquement due aux capillaires.

Données :

Pression au sein de l'artère : $P_{1} = 16, 0 \times 1 0^{3} Pa$ .
Pression au sein de la veine : $P_{2} = 1, 3 \times 1 0^{3} Pa$ .
Résistance à l'écoulement d'un capillaire : $R = 1, 0 \times 1 0^{16} S.I.$

4. Expliquer pourquoi la résistance à l'écoulement du sang dans un capillaire est très supérieure à celle dans une artère ou dans une veine.

5. Calculer le débit volumique du sang dans un capillaire.

Dans l'artère, le débit volumique du sang est de $5 \times 1 0^{- 6} m^{3} \cdot s^{- 1}$ .

6. Montrer que le nombre $N_{C}$ de capillaires parcourus par le sang est en accord avec la partie de phrase soulignée dans le texte introductif à gauche de la figure 3.

Corrigé

Partie A — Mise en évidence d'une sténose aortique

1. À l'aide de la relation de Bernoulli appliquée à la statique des fluides, montrer que $1, 00 mmHg$ correspond à une différence de pression de $133 Pa$ .

D'après la relation de Bernoulli :

$P_{A} + ρ \times g \times z_{A} + \frac{1}{2} \times ρ \times v_{A}^{2} = P_{B} + ρ \times g \times z_{B} + \frac{1}{2} \times ρ \times v_{B}^{2}$

En statique des fluides $v_{A} = v_{B} = 0$ , alors :

$P_{A} + ρ \times g \times z_{A} = P_{B} + ρ \times g \times z_{B}$ $P_{B} - P_{A} = ρ \times g \times (z_{A} - z_{B})$

Les points A et B sont séparés d'une altitude $z_{B} - z_{A} = 1 mm$ , le fluide a une masse volumique $ρ (H g) = 13, 6 \times 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ .

$P_{B} - P_{A} = 13, 6 \times 1 0^{3} \times 9, 81 \times (- 1 \times 1 0^{- 3}) = - 13, 6 \times 9, 81 = - 133 Pa$

On retrouve bien la différence de pression de $133 Pa$ .

$1, 00 mmHg = 133 Pa$

2. Déterminer la différence de pression $P_{A} - P_{B}$ en pascals, puis en mmHg.

D'après la relation de Bernoulli :

$P_{A} + ρ \times g \times z_{A} + \frac{1}{2} \times ρ \times v_{A}^{2} = P_{B} + ρ \times g \times z_{B} + \frac{1}{2} \times ρ \times v_{B}^{2}$

Avec $z_{A} = z_{B}$ (écoulement horizontal), alors :

$\frac{1}{2} \times ρ \times v_{A}^{2} + P_{A} = P_{B} + \frac{1}{2} \times ρ \times v_{B}^{2}$ $P_{A} - P_{B} = \frac{1}{2} \times ρ \times v_{B}^{2} - \frac{1}{2} \times ρ \times v_{A}^{2}$ $P_{A} - P_{B} = \frac{1}{2} \times ρ \times (v_{B}^{2} - v_{A}^{2}) o u ˋ ρ = ρ (s an g)$ $P_{A} - P_{B} = \frac{1}{2} \times 1, 05 \times 1 0^{3} \times (4, 2^{2} - 1, 0^{2})$ $P_{A} - P_{B} = 8, 736 \times 1 0^{3} Pa = 8, 74 \times 1 0^{3} Pa$

$1, 00 mmHg$ correspond à une différence de pression de $133 Pa$ :

$P_{A} - P_{B} = 8, 736 \times 1 0^{3} Pa = \frac{8 , 736 \times 1 0 ^{3}}{133} = 65, 7 mmHg$

$P_{A} - P_{B} \approx 8, 74 \times 1 0^{3} Pa \approx 65, 7 mmHg$

3. Justifier, à l'aide des résultats et des données précédentes, que le patient analysé a un rétrécissement aortique serré.

Un rétrécissement aortique serré est défini par :

une vitesse maximale du sang de valeur supérieure à $4 m \cdot s^{- 1}$ en sortie de valve aortique : c'est le cas puisque $v_{B} = 4, 2 m \cdot s^{- 1}$ ;
une différence de pression supérieure à $50 mmHg$ à travers la valve aortique (selon les recommandations européennes) : c'est aussi le cas puisque $P_{A} - P_{B} = 65, 7 mmHg$ ;
et une surface de la section de la valve aortique au niveau du rétrécissement (point B) inférieure à $1 c m^{2}$ . Il faut donc déterminer la surface de la section en B.

Il faut utiliser la conservation du débit volumique $D_{v}$ entre A et B :

$D_{v A} = D_{v B}$ $S_{A} \times v_{A} = S_{B} \times v_{B}$ $S_{B} = \frac{S _{A} \times v _{A}}{v _{B}} = \frac{π \times ( \frac{d _{A}}{2} ) ^{2} \times v _{A}}{v _{B}} = \frac{π \times ( \frac{2 , 02 cm}{2} ) ^{2} \times 1 , 0}{4 , 2}$ $S_{B} = 0, 76 c m^{2} < 1 c m^{2}$

La dernière condition est vérifiée, ainsi le patient présente bien un rétrécissement aortique serré.

Partie B — Écoulement de Poiseuille

4. Expliquer pourquoi la résistance à l'écoulement du sang dans un capillaire est très supérieure à celle dans une artère ou dans une veine.

La résistance à l'écoulement est donnée par $R = \frac{64 \times L \times η}{π \times d ^{4}}$ .

Pour une même longueur $L$ , si $d$ diminue alors la résistance à l'écoulement augmente. La figure 3 montre que le diamètre d'une artère ou d'une veine est très supérieur à celui d'un capillaire. Ainsi on comprend pourquoi la résistance à l'écoulement du sang dans un capillaire est très supérieure à celle dans une artère ou dans une veine.

5. Calculer le débit volumique du sang dans un capillaire.

$∣Δ P ∣ = R \times D_{v} donc D_{v} = \frac{∣Δ P ∣}{R} = \frac{P _{1} - P _{2}}{R}$ $D_{v} = \frac{( 16 , 0 - 1 , 3 ) \times 1 0 ^{3}}{1 , 0 \times 1 0 ^{16}} = 1, 5 \times 1 0^{- 12} m^{3} \cdot s^{- 1}$

$D_{v} (capillaire) \approx 1, 5 \times 1 0^{- 12} m^{3} \cdot s^{- 1}$

6. Montrer que le nombre $N_{C}$ de capillaires parcourus par le sang est en accord avec la partie de phrase soulignée dans le texte introductif à gauche de la figure 3.

Le débit volumique de l'artère se répartit dans les $N_{C}$ capillaires :

$D_{v} (capillaire) = \frac{D _{v} ( art e ˋ re )}{N _{C}}$ $N_{C} = \frac{D _{v} ( art e ˋ re )}{D _{v} ( capillaire )} = \frac{5 \times 1 0 ^{- 6}}{1 , 5 \times 1 0 ^{- 12}} = 3 \times 1 0^{6} capillaires$

Le texte introductif indique un réseau de plusieurs millions de capillaires, ce qui est en accord avec la valeur d'environ $3$ millions de capillaires.

$N_{C} \approx 3 \times 1 0^{6} capillaires$

Poser une question au tuteur sur ce sujet