Corrigé bac physique-chimie 2025 — Exercice 2 : Écoulement du sang dans une artère

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Les artères carotidiennes constituent les principales voies de transport du sang vers le cerveau. Une sténose correspond à un rétrécissement ou une obstruction partielle des artères, ce qui peut entraîner des problèmes graves comme des accidents vasculaires cérébraux (AVC) au cours desquels le cerveau est privé du dioxygène nécessaire à son bon fonctionnement.

Le premier objectif de cet exercice est d'évaluer par échographie Doppler la vitesse d'un écoulement de sang au sein d'une artère partiellement obstruée. Dans un second temps, l'objectif est de modéliser l'écoulement et d'évaluer l'importance de l'obstruction.

1. Échographie Doppler.

Un émetteur-récepteur ultrasonore permet d'étudier les vaisseaux sanguins. Les ondes émises sont partiellement réfléchies par les tissus mous environnants, mais également par les globules rouges présents dans l'écoulement de sang. Lorsque l'écoulement sanguin est visé, un décalage entre la fréquence émise $f_{E}$ et celle reçue par l'appareil $f_{R}$ est observé. La différence de fréquence $Δ f = f_{R} - f_{E}$ ou décalage Doppler permet de mesurer la vitesse du flux sanguin et d'obtenir ainsi des informations essentielles pour le diagnostic médical.

Q1. Expliquer pourquoi on observe un décalage de fréquence lorsqu'un écoulement sanguin est visé.

Q2. À l'aide de vos connaissances, justifier que le décalage doppler $Δ f$ est positif dans la situation de la figure 1.

Données :

fréquence de l'onde émise $f_{E} = 5, 0 MHz$ ( $1 MHz = 1 0^{6} Hz$ ) ;
célérité de l'onde ultrasonore dans les milieux considérés : $c = 1, 5 \times 1 0^{3} m \cdot s^{- 1}$ ;
expression du décalage Doppler en fonction de la valeur de la vitesse $v$ de l'écoulement, de la célérité $c$ de l'onde, de la fréquence émise par l'émetteur $f_{E}$ ainsi que de l'angle $θ$ défini sur la figure 1 :

$Δ f = 2 f_{E} \cdot cos θ \cdot \frac{v}{c}$

Après une échographie de la zone sténosée d'une artère, le décalage Doppler mesuré vaut $Δ f = 7, 0 kHz$ pour un angle $θ = 60°$ .

Q3. Vérifier que la valeur de la vitesse $v_{B}$ de l'écoulement au sein de la sténose vaut approximativement $v_{B} = 2, 1 m \cdot s^{- 1}$ .

2. Modélisation de l'écoulement du sang dans une artère sténosée.

On représente la situation d'étude dans un cas simple où le fluide traverse d'abord une section $S_{A}$ puis, au niveau du rétrécissement, une section $S_{B}$ . On modélisera la situation dans le cadre d'un écoulement de sang incompressible et en régime permanent.

Données :

le débit volumique $D_{V}$ est défini en fonction de la vitesse de l'écoulement $v$ et de la section $S$ tel que : $D_{V} = v \cdot S$ ;
section d'une artère carotidienne avant rétrécissement : $S_{A} = 1, 9 \times 1 0^{- 5} m^{2}$ ;
débit volumique dans une artère carotidienne : $D_{V} = 1, 1 \times 1 0^{- 5} m^{3} \cdot s^{- 1}$ .

Q4. À l'aide des données, calculer la vitesse $v_{A}$ de l'écoulement au point A.

Les différents stades de rétrécissement peuvent être identifiés en comparant la section de l'artère dans la sténose $S_{B}$ et en dehors de la sténose $S_{A}$ comme dans le tableau 1.

Stade de sténose	Rapport d'ouverture $\frac{S _{B}}{S _{A}}$	Mesures médicales préconisées
Légère	$\frac{S _{B}}{S _{A}} > 0, 36$	Contrôles réguliers. Alimentation saine et arrêt du tabac. Exercice physique
Modérée	$0, 16 < \frac{S _{B}}{S _{A}} < 0, 36$	Sans symptôme : traitement médical. Avec symptômes : traitement chirurgical
Sévère	$\frac{S _{B}}{S _{A}} < 0, 16$	Chirurgie nécessaire. Risque élevé d'AVC

Tableau 1. Tableau regroupant les stades de sténose et les mesures indiquées.

Donnée :

vitesse de l'écoulement au sein du rétrécissement : $v_{B} = 2, 1 m \cdot s^{- 1}$ .

Q5. En considérant le débit volumique $D_{V}$ conservé entre les points A et B, déterminer à l'aide des données la valeur du rapport $\frac{S _{B}}{S _{A}}$ de l'artère au sein de la sténose. Indiquer les mesures médicales préconisées.

La relation de Bernoulli permet de modéliser un tel écoulement. Elle relie la valeur de la vitesse $v$ , l'altitude $z$ et la pression $P$ selon la relation :

$\frac{1}{2} ρ \cdot v^{2} + ρ \cdot g \cdot z + P = co n s t an t e$

Q6. Montrer que la relation de Bernoulli appliquée entre les points A et B représentés en figure 2 peut s'exprimer :

$P_{A} - P_{B} = \frac{1}{2} ρ \cdot (v_{B}^{2} - v_{A}^{2})$

Q7. En s'appuyant sur l'expression littérale mais sans effectuer de calcul, préciser en justifiant votre raisonnement si la pression dans l'écoulement augmente ou diminue entre les points A et B.

Donnée :

masse volumique du sang humain : $ρ = 1, 1 \times 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ .

Q8. À l'aide des données, calculer la valeur de la différence de pression $P_{A} - P_{B}$ .

Corrigé

1. Échographie Doppler.

Q1. L'écoulement sanguin contient des globules rouges qui reçoivent l'onde ultrasonore de l'émetteur. Les globules vont réfléchir l'onde reçue, cette onde réfléchie est donc émise par un globule en mouvement par rapport à l'émetteur-récepteur alors c'est le produit l'effet Doppler.

Q2. $Δ f = f_{R} - f_{E} > 0$ donc $f_{R} > f_{E}$ .

La fréquence reçue est supérieure à celle émise car le globule se rapproche de l'émetteur-récepteur.

Remarque : avoir en tête le son plus aigu d'une ambulance lorsqu'elle se rapproche de vous.

Q3.

$Δ f = 2 f_{E} \cdot cos θ \cdot \frac{v}{c}$

$v_{B} = \frac{Δ f \cdot c}{2 f _{E} \cdot cos θ}$

$v_{B} = \frac{7 , 0 \times 1 0 ^{3} \times 1 , 5 \times 1 0 ^{3}}{2 \times 5 , 0 \times 1 0 ^{6} \times cos 60°} = 2, 1 m \cdot s^{- 1}$

2. Modélisation de l'écoulement du sang dans une artère sténosée.

Q4. $D_{V} = S_{A} \cdot v_{A}$

$donc v_{A} = \frac{D _{V}}{S _{A}}$

$v_{A} = \frac{1 , 1 \times 1 0 ^{- 5} m ^{3} \cdot s ^{- 1}}{1 , 9 \times 1 0 ^{- 5} m ^{2}} = 0, 58 m \cdot s^{- 1}$

Q5. $D_{V} = S_{A} \cdot v_{A} = S_{B} \cdot v_{B}$

$\frac{S _{B}}{S _{A}} = \frac{v _{A}}{v _{B}}$

$\frac{S _{B}}{S _{A}} = \frac{0 , 58}{2 , 1} = 0, 28$

Le rapport est compris entre $0, 16$ et $0, 36$ , le tableau 1 indique alors que selon la présence de symptôme ou non, il faut soit un traitement médical soit un traitement chirurgical.

Q6. Bernoulli appliquée entre les points A et B représentés en figure 2 :

$\frac{1}{2} ρ \cdot v_{A}^{2} + ρ \cdot g \cdot z_{A} + P_{A} = \frac{1}{2} ρ \cdot v_{B}^{2} + ρ \cdot g \cdot z_{B} + P_{B}$

Les points A et B sont à la même altitude alors

$\frac{1}{2} ρ \cdot v_{A}^{2} + P_{A} = \frac{1}{2} ρ \cdot v_{B}^{2} + P_{B}$

$P_{A} - P_{B} = \frac{1}{2} ρ \cdot v_{B}^{2} - \frac{1}{2} ρ \cdot v_{A}^{2}$

$P_{A} - P_{B} = \frac{1}{2} ρ \cdot (v_{B}^{2} - v_{A}^{2})$

Q7. On a $v_{B} = 2, 1 m \cdot s^{- 1} > v_{A} = 0, 58 m \cdot s^{- 1}$ , donc $P_{A} - P_{B} > 0$ ou encore $P_{A} > P_{B}$ . La pression diminue dans l'écoulement. C'est conforme à l'effet Venturi.

Q8.

$P_{A} - P_{B} = \frac{1}{2} \times 1, 1 \times 1 0^{3} \times (2, 1^{2} - 0, 5 8^{2}) = 2, 2 \times 1 0^{3} Pa$

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