Corrigé bac physique-chimie 2025 — Exercice 2 : La physique s'invite sur un terrain de rugby

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Au rugby, une chandelle est un tir au pied vers l'avant et très en hauteur qui permet au tireur, sur sa lancée, de récupérer le ballon à sa retombée avant l'adversaire.

Dans cet exercice, on se propose d'étudier une chandelle par une approche dynamique dans la première partie ; la seconde partie concerne une étude énergétique.

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.

Lors d'un entraînement, un joueur de rugby réalise une chandelle. Le système considéré est le ballon de rugby, assimilé à un point matériel de centre de masse noté G. Le mouvement du ballon est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen et muni du système d'axes $(O x, O z)$ , de base $(O; i, k)$ .

À $t = 0 s$ , le joueur communique au ballon, de masse $m$ , une vitesse $v_{0}$ qui forme un angle $α$ avec l'horizontale. Le ballon se trouve alors à une hauteur $h$ au-dessus du sol comme indiqué sur la figure 1.

Hypothèses :

La valeur du champ de pesanteur terrestre $g$ est considérée comme uniforme.
Les frottements liés à l'action de l'air sont supposés négligeables.

Données :

Intensité de la pesanteur terrestre : $g = 9, 81 m \cdot s^{- 2}$ .
Valeur $v_{0}$ de la vitesse initiale communiquée au ballon : $v_{0} = 20, 5 m \cdot s^{- 1}$ .
Altitude initiale du ballon : $h = 90 cm$ .
Angle à l'instant initial : $α = 70°$ .

Partie A – Étude dynamique d'une chandelle

1. En précisant la loi utilisée, exprimer les coordonnées du vecteur accélération $a_{G}$ du ballon à l'instant $t$ : $a_{x} (t)$ et $a_{z} (t)$ .

2. Montrer que les équations horaires du mouvement sont : $⎩ ⎨ ⎧ x (t) = v_{0} \times cos (α) \times t z (t) = - \frac{1}{2} \times g \times t^{2} + v_{0} \times sin (α) \times t + h$

3. Vérifier que le vol du ballon, jusqu'à ce qu'il touche le sol, dure 3,97 s.

Une chandelle est réussie si le joueur de rugby qui a tapé le ballon le récupère. Lors de sa chandelle, le joueur saute et parvient à récupérer son ballon au bout de 3,82 s.

4. Calculer l'altitude du ballon lorsque le joueur le récupère.

Lors de la coupe du monde 2023, le talonneur Julien Marchand a tapé le ballon, puis a sprinté vers le ballon avec une vitesse moyenne de $25, 7 km \cdot h^{- 1}$ .

5. Déterminer si Julien Marchand aurait été capable de réussir la chandelle étudiée dans les questions précédentes (chandelle du joueur de rugby précédent avec les mêmes caractéristiques).

Partie B – Étude énergétique d'une chandelle

Par une modélisation numérique, on cherche à calculer la vitesse du ballon lorsqu'il est récupéré par le joueur. Pour cela on utilise une étude énergétique du système définie dans la partie A à l'aide d'un programme en langage Python dont un extrait est présenté ci-dessous. Ce programme utilise les coordonnées $x (t)$ et $z (t)$ du vecteur position et $v_{x} (t)$ et $v_{z} (t)$ du vecteur vitesse pour modélisation de la trajectoire du ballon.

Les variables $x$ , $z$ , $v x$ et $v z$ sont déclarées dans le code mais non affichées dans l'extrait du code source.

7   # Déclaration des constantes
8   m = 0.440   # en kg
9   g = 9.81    # en N/kg
...
25  # Calcul des energies
26  _ = (vx**2 + vz**2)**(1/2)
27  _ = 0.5 * m * v**2
28  Ep = ___           # Ep = 0 si z = 0
29  Em = ___

L'exécution de ce programme permet d'obtenir le graphique de la figure 3 page suivante qui modélise l'évolution des énergies du point G au cours du temps.

6. Relever dans le code de la figure 2 la valeur de la masse du ballon.

7. Identifier les grandeurs calculées aux lignes 26 et 27.

8. Recopier et compléter le code des lignes 27, 28 et 29 du programme.

9. En justifiant, attribuer la nature de l'énergie correspondant à chaque courbe du graphique de la figure 3.

10. Indiquer, en expliquant, si l'hypothèse sur les frottements de l'air, proposée au début de l'exercice, a été prise en compte dans la modélisation numérique.

Le joueur tape le ballon et lui communique une vitesse initiale $v_{0}$ dont la valeur est celle de la partie A. Il récupère le ballon à une altitude de 2,90 m.

11. À l'aide d'une étude énergétique, calculer la vitesse du ballon, en $km \cdot h^{- 1}$ , lorsqu'il est récupéré par le joueur.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie même si elle n'a pas abouti : la démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.

Corrigé

Partie A – Étude dynamique d'une chandelle

1. Exprimer les coordonnées du vecteur accélération $a_{G}$ .

Système {ballon} de masse $m$ et de centre de masse G. Référentiel terrestre supposé galiléen. Repère d'étude $(O x z)$ .

Dans le cas d'une chute libre, le ballon n'est soumis qu'à son poids $P = m \cdot g$ .

Deuxième loi de Newton : $\sum F_{e x t} = P = m \cdot a$ soit $m \cdot g = m \cdot a$ donc $a = g$ .

En projection selon les axes Ox et Oz du repère choisi et compte tenu du sens du vecteur $g$ : $a (t) {a_{x} (t) = g_{x} = 0 a_{z} (t) = g_{z} = - g$

2. Montrer que les équations horaires du mouvement sont les expressions données.

$a = \frac{d v}{d t}$ donc en primitivant : $v {v_{x} (t) = Cte_{1} v_{z} (t) = - g t + Cte_{2}$ Conditions initiales : $v_{0} {v_{0 x} = v_{0} cos α v_{0 z} = v_{0} sin α$ avec à $t = 0$ : $v_{x} (0) = Cte_{1}$ et $v_{z} (0) = Cte_{2}$ .

Finalement : $v {v_{x} (t) = v_{0} cos α v_{z} (t) = - g t + v_{0} sin α$

$v = \frac{d O G}{d t}$ , en primitivant : $O G (t) ⎩ ⎨ ⎧ x (t) = v_{0} cos α \cdot t + Cte_{3} z (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} sin α \cdot t + Cte_{4}$ Conditions initiales, à $t = 0$ , le ballon est au point $G_{0}$ de coordonnées $(x (0) = 0; z (0) = h)$ : $Cte_{3} = 0$ et $Cte_{4} = h$ .

Finalement : $⎩ ⎨ ⎧ x (t) = v_{0} \times cos (α) \cdot t z (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} sin (α) \cdot t + h$

3. Vérifier que le vol dure 3,97 s.

$z (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} sin (α) \cdot t + h$ . Vérifions que pour $t = 3, 97 s$ alors $z \approx 0$ : $z (3, 975) = - \frac{1}{2} \times 9, 81 \times 3, 9 7^{2} + 20, 5 \times sin (70) \times 3, 97 + 0, 90 = 7, 0 \times 1 0^{- 2} m = 7, 0 cm$ On ne trouve pas une altitude nulle, c'est sans doute dû à un manque de précision sur la valeur de $t$ ou de l'angle $α$ . Par exemple si on fait le calcul avec $t = 3, 975 s$ , l'altitude est alors égale à 1,1 cm. (Attention : calculatrice en degrés.)

4. Calculer l'altitude du ballon lorsque le joueur le récupère.

Calculons $z$ pour $t = 3, 82 s$ : $z (3, 82 s) = - \frac{1}{2} \times 9, 81 \times 3, 8 2^{2} + 20, 5 \times sin (70) \times 3, 82 + 0, 90 = 2, 9 m$

5. Déterminer si Julien Marchand aurait réussi la chandelle.

Julien Marchand doit posséder la même vitesse horizontale que le ballon. On a établi précédemment que $v_{x} (t) = v_{0} cos α$ : $v_{x} (t) = 20, 5 \times cos (70) = 7, 0 m \cdot s^{- 1} = 25 km \cdot h^{- 1}$ Le ballon semble un peu plus lent que Julien (25,7 km·h⁻¹), mais la différence est faible. À 69,6° arrondi avec deux chiffres significatifs cela donne 70°. Il est probable que Julien réussisse sa chandelle.

Partie B – Étude énergétique d'une chandelle

6. Relever la valeur de la masse du ballon.

$m = 0, 440 kg$

7. Identifier les grandeurs calculées aux lignes 26 et 27.

La ligne 26 correspond au calcul de la norme du vecteur vitesse $v = v_{x}^{2} + v_{z}^{2}$ . La ligne 27 correspond au calcul de l'énergie cinétique $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}$ .

8. Recopier et compléter le code des lignes 27, 28 et 29.

27  Ec = 0.5 * m * v**2
28  Ep = m*g*z
29  Em = Ep+Ec

9. Attribuer la nature de l'énergie correspondant à chaque courbe.

Les frottements liés à l'action de l'air sont supposés négligeables, donc l'énergie mécanique se conserve et elle correspond à la courbe 1. Initialement l'altitude du ballon est faible, donc son énergie potentielle de pesanteur est également nulle et elle correspond à la courbe 2. Enfin initialement le ballon possède une grande vitesse, donc son énergie cinétique est grande, ce qui correspond à la courbe 3.

10. Indiquer si l'hypothèse sur les frottements de l'air a été prise en compte.

Comme dit précédemment $E_{m} = Cte$ donc la modélisation n'a pas pris en compte les frottements de l'air. Si récupérée le ballon à une altitude de 2,90 m.

11. À l'aide d'une étude énergétique, calculer la vitesse du ballon, en $km \cdot h^{- 1}$ .

On utilise la conservation de l'énergie mécanique.

État initial : $v_{0} = 20, 5 m \cdot s^{- 1}$ ; $z_{0} = h_{0} = 0, 90 m$ ; $E_{m 0} = E_{m}$ réception.

État final : $v = ?$ ; $h = 2, 90 m$ . $\frac{1}{2} m \cdot v_{0}^{2} + m \cdot g \cdot h_{0} = \frac{1}{2} m \cdot v^{2} + m \cdot g \cdot h$ On divise les termes par $m$ : $\frac{1}{2} v_{0}^{2} + g \cdot h_{0} = \frac{1}{2} v^{2} + g \cdot h$ On multiplie par 2 : $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 g \cdot h_{0} - 2 g \cdot h$ $v = v_{0}^{2} + 2 g (h_{0} - h)$ $v = 20, 5^{2} + 2 \times 9, 81 \times (0, 90 - 2, 90) = 19, 5 m \cdot s^{- 1} = 70, 3 km \cdot h^{- 1}$

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