Corrigé bac physique-chimie 2025 — Exercice 2 : Le Mölkky

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité physique-chimie, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

EXERCICE 2 - LE MÖLKKY (6 POINTS)

Le Mölkky, créé en 1996, est un jeu de plein air originaire de Finlande. Dans ce jeu, le joueur de Mölkky doit faire tomber des quilles en bois, à l'aide d'un bâton, afin d'atteindre un score de 50 points. Une quille tombée seule donnera le nombre de points porté sur cette dernière (compris entre 1 et 12). Plusieurs quilles tombées donneront au joueur le nombre de points correspondant au nombre de quilles au sol.

D'après « cdsmr85.org »

L'objectif de cet exercice est d'établir l'équation horaire du mouvement du bâton lancé et de déterminer le lieu d'impact au sol afin de prévoir une éventuelle victoire d'un joueur.

On s'intéresse au mouvement du centre de masse G du bâton lorsqu'un joueur le lance afin de faire tomber une quille. L'étude est réalisée dans le référentiel terrestre supposé galiléen et on considère qu'une fois lancé, le bâton n'est soumis qu'à son poids. Pour simplifier, on suppose que le bâton ne tourne pas sur lui-même. La masse du bâton est notée $m$ .

Quand le bâton quitte la main du joueur, son centre de masse G est situé à une hauteur $h$ par rapport au sol avec un vecteur vitesse initial $v_{0}$ qui forme un angle $α$ avec l'horizontale.

On étudie le mouvement du centre de masse du système (bâton) dans le repère cartésien indiqué sur la figure 1.

Q1. Énoncer la deuxième loi de Newton et l'utiliser pour établir les expressions des coordonnées notées $a_{x} (t)$ et $a_{y} (t)$ du vecteur accélération $a (t)$ du point G selon les axes (Ox) et (Oy).

Q2. Établir les expressions des coordonnées horizontales notée $v_{x} (t)$ et verticale $v_{y} (t)$ du vecteur vitesse $v (t)$ du point G.

Q3. À partir des expressions des coordonnées de la vitesse $v_{x} (t)$ et $v_{y} (t)$ et de la figure 1, établir les équations horaires du mouvement $x (t)$ et $y (t)$ du point G sont : $⎩ ⎨ ⎧ x (t) = v_{0} cos (α) \cdot t y (t) = - \frac{1}{2} g \cdot t^{2} + v_{0} sin (α) \cdot t + h$

Données :

vitesse initiale de lancer du bâton de Mölkky : $v_{0}$ = 4,9 m·s $^{- 1}$ ;
hauteur depuis laquelle le bâton est lancé : $h$ = 0,70 m ;
angle avec lequel le bâton est lancé par rapport à l'horizontale : $α$ = 30° ;
intensité du champ de pesanteur terrestre $g$ = 9,8 m·s $^{- 2}$ .

Q4. À l'aide des données et des équations horaires du mouvement, montrer que l'expression de l'équation de la trajectoire $y (x)$ , $x$ et $y$ étant exprimés en mètres, s'écrit sous la forme : $y (x) = - 0, 27 x^{2} + 0, 58 x + 0, 70$

Un joueur ayant déjà marqué 41 points s'apprête à lancer le bâton de Mölkky. Pour gagner, il doit atteindre exactement le score de 50 points. La configuration du jeu est représentée sur la photographie de la figure 2.

Dans notre étude, la taille des quilles est considérée comme négligeable au regard des distances mises en jeu. On assimilera alors la quille à un point posé au sol. On suppose qu'il n'y a pas de rebond du bâton à la suite du lancer.

Dans la question suivante, le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.

Q5. Vérifier que la partie est remportée par le joueur si le lancer est réalisé dans les conditions précisées dans les énoncés précédents.

Sur la figure 3, on a reproduit un extrait d'un programme Python qui permet de calculer puis de tracer les courbes représentant l'énergie cinétique $E_{C}$ , l'énergie potentielle de pesanteur $E_{P}$ et l'énergie mécanique $E_{m}$ du bâton de Mölkky lors de son lancer. Les données numériques utilisées sont identiques aux questions précédentes.

[…]
14    Ecl=[ ]
15    Epl=[ ]
16    Eml=[ ]
17    for i in range(len(tl)) :
18        Ec=0.5*0.4*(vxl[i]**2+vyl[i]**2)
19        Ecl.append(Ec)
20        Ep=0.4*9.81*y[i]
21        Epl.append(Ep)
22        Em=
23        Eml.append(Em)
[…]

Q6. À partir de la figure 3, déterminer la masse $m$ du bâton de Mölkky. Justifier la réponse.

Q7. Écrire et compléter, sur votre copie, la ligne 22 du programme de la figure 3 qui permet de calculer l'énergie mécanique $E_{m}$ du bâton de Mölkky.

La figure 4 représente les courbes affichées après avoir exécuté le programme Python complet.

Q8. Attribuer chaque courbe de la figure 4 à l'énergie représentée. Justifier la réponse.

Q9. Déterminer la « durée de vol » du bâton de Mölkky (durée de chute) et en déduire que la partie décrite précédemment est remportée par le joueur, en considérant les équations horaires du mouvement établies dans la question Q3.

Corrigé

Q1. Deuxième loi de Newton : la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de sa masse par le vecteur accélération de son centre d'inertie. Système : {le bâton} de masse $m$ . Référentiel : terrestre supposé galiléen. Le bâton n'est soumis qu'à son poids $P$ . $\sum F_{e x t} = P \Rightarrow m \cdot a = m \cdot g \Rightarrow a = g$ En projection sur les axes (Ox) et (Oy) du repère choisi : $a (t) {a_{x} (t) = g_{x} = 0 a_{y} (t) = g_{y} = - g$

Q2. $a = \frac{d v}{d t} donc a_{x} (t) = \frac{d v _{x} ( t )}{d t} et a_{y} (t) = \frac{d v _{y} ( t )}{d t}$ Ainsi en primitivant on obtient : $v {v_{x} (t) = C t e_{1} v_{y} (t) = - g t + C t e_{2}$ On détermine les constantes avec les conditions initiales. Le vecteur vitesse initiale $v_{0}$ : $v_{0} {v_{0 x} = v_{0} cos (α) v_{0 y} = v_{0} sin (α)$ Compte tenu du vecteur vitesse initiale $v_{0} = v (t = 0)$ on a : $v_{0} cos (α) = C t e_{1}$ $v_{0} sin (α) = 0 + C t e_{2}$ Finalement : $v {v_{x} (t) = v_{0} cos (α) v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin (α)$

Q3. $v = \frac{d O G}{d t} donc v_{x} (t) = \frac{d x ( t )}{d t} et v_{y} (t) = \frac{d y ( t )}{d t}$ En primitivant on obtient : $O G ⎩ ⎨ ⎧ x (t) = v_{0} cos (α) t + C t e_{3} y (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} sin (α) t + C t e_{4}$ Conditions initiales, à $t$ = 0 s, le bâton est au point G( $t$ = 0) de coordonnées ( $x (0)$ = 0 ; $y (0)$ = $h$ ) donc : $0 + C t e_{3} = 0 \Rightarrow C t e_{3} = 0$ $0 + 0 + C t e_{4} = h \Rightarrow C t e_{4} = h$ Finalement, on obtient les équations horaires : $O G ⎩ ⎨ ⎧ x (t) = v_{0} cos (α) t y (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} sin (α) t + h$

Q4. $t = \frac{x ( t )}{v _{0} cos ( α )}$ $y (x) = - \frac{1}{2} g \cdot (\frac{x}{v _{0} cos ( α )})^{2} + v_{0} sin (α) \cdot \frac{x}{v _{0} cos ( α )} + h$ $y (x) = - \frac{g}{2 v _{0}^{2} cos ^{2} ( α )} x^{2} + x \cdot tan (α) + h$ $y (x) = - \frac{9 , 8}{2 \times 4 , 9 ^{2} \times cos ^{2} ( 30° )} x^{2} + x \cdot tan (30°) + 0, 70$ $y (x) = - 0, 27 x^{2} + 0, 58 x + 0, 70$

Q5. Pour gagner le joueur doit faire tomber la quille 9 située à 3,0 m au niveau du sol. Déterminons l'altitude $y$ du centre d'inertie G du bâton pour cette distance $x$ de 3,0 m. $y (3, 0) = - 0, 27 \times 3, 0^{2} + 0, 58 \times 3, 0 + 0, 70 = 1, 0 \times 1 0^{- 2} m \approx 1, 0 cm$ Le bâton en étant à 1,0 cm du sol va bien renverser la quille 9 et permettre de remporter la partie (le joueur passe de 41 à 50 points).

Q6. La ligne 18 donne la formule pour calculer l'énergie cinétique : $E c = 0, 5 \cdot m \cdot v^{2}$ On en déduit que $m$ = 0,4 kg.

Q7. $E m = E c + E p$ La réponse $E m = E c l [i] + E pl [i]$ est acceptée.

Q8. Au début du lancer, le bâton monte et perd de la vitesse. $E p = m \cdot g \cdot y$ avec $y$ qui augmente donc $E p$ augmente : Courbe A. $E c = 0, 5 \cdot m \cdot v^{2}$ avec $v$ qui diminue donc $E c$ diminue : Courbe B. $E m = E c + E p$ : Courbe C.

Q9. La chute s'arrête lorsque le bâton touche le sol, alors $E p$ = 0 J. Par lecture graphique, cela se produit pour $t$ = 0,7 s. La durée du vol est donc $t$ = 0,7 s. $x (0, 7) = 4, 9 \times cos (30°) \times 0, 7 = 3, 0 m$ Au bout de 0,7 s, le bâton a parcouru 3,0 m et il atteint la quille n°9.

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